(讲义)3.3 第1课时 二项式定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

3.3　二项式定理与杨辉三角 第1课时　二项式定理 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．掌握二项式定理及二项展开式的通项公式．(重点) 3．能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点) 1．通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养． 2．借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养． 三个箱子均装着标有a，b字母的两个大小，形状一样的球，从每个箱子摸出一个球，共摸出3个球，有哪些可能结果？每一种结果有多少种情形？ 问题：类比上述结果你能联想出(a＋b)3展开式的形式吗？ [提示]　(a＋b)3＝Ca3b0＋Ca2b＋Cab2＋Ca0b3． 知识点　二项式定理及相关的概念 二项式定理 定义 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋)称为二项式定理 二项式系数 C(k＝0，1，2，…，n)称为第k＋1项的二项式系数 二项式通项 Can－kbk是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N＋) 二项展开式 Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋) 1．二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？ [提示]　二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，而项的系数是指该项中除了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关． 2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式的第k＋1项是否相同？ [提示]　不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Can－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为Cbn－kak． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式的展开式的二项式系数相同． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(x＋1)n的展开式共11项，则n等于(　　) A．9　　　B．10　　　C．11　　　D．12 B　[由n＋1＝11，可知n＝10．] 类型1　二项式定理的正用、逆用 【例1】　(1)用二项式定理展开． (2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)rC(x＋1)n－r＋…＋(－1)nC． [思路点拨]　(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开．(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解． [解]　(1)＝C(2x)5＋C(2x)4·＋…＋C ＝32x5－120x2＋－＋－． (2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋C(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn． 1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件． 2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便． 3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． [跟进训练] 1．(1)求的展开式； (2)化简：1＋10C＋102C＋…＋10nC． [解]　(1)法一：＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·＋C(3)·＋C＝81x2＋108x＋54＋＋． 法二：＝ ＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋＋． (2)原式＝1＋10C＋102C＋…＋10nC＝(1＋10)n＝11n． 类型2　二项式系数与项的系数问题 【例2】　(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； (2)(对接教材)求的展开式中x3的系数． [思路点拨]　利用二项式定理求展开式中的某一项的系数，可以通过二项展开式的通项公式进行求解． [解]　(1)由已知得二项展开式的通项为Tk＋1 ＝C(2)6－k·＝(－1)kC·26－k·x， ∴T6＝－12x． ∴第6项的二项式系数为C＝6， 第6项的系数为－12． (2)Tk＋1＝Cx9－k·＝(－1)k·C·x9－2k， 令9－2k＝3，∴k＝3，即展开式中第4项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84． 1．二项式系数都是组合数C(k＝0，1，2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式的展开式中“项的系数”这两个概念． 2．第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第4项是T