(讲义) 4.2.5 正态分布-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

4.2.5　正态分布 1．了解二项分布与正态曲线的关系，能借助正态曲线理解正态曲线的性质．(重点) 2．掌握正态分布的定义，会利用正态分布解决实际问题．(重点) 3．了解正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率．(难点) 1．通过学习正态分布和标准正态分布，体会数学抽象与直观想象的素养． 2．借助正态分布中的“3σ原则”解题及标准正态分布函数φ(x)的函数值计算正态分布X～N(μ，σ2)在某一区间内取值的概率，提升数学建模、数学运算的素养． 小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸(单位：cm)X～N(4，0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？ [提示]　不合格．(由本节所学知识解答)． 知识点1　正态曲线及其性质 (1)正态曲线的定义 一般地，函数φμ，σ(x)＝e对应的图象称为正态曲线，其中μ＝E(X)，σ＝． (2)正态曲线的性质 ①正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点； ②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1； ③σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”． 1．正态曲线函数f(x)＝e，x∈R，其中μ＞0的图象是下图中的(　　) 　　　 A　　　　　B　　　　　　　C　　　　　D　 D　[因为正态曲线函数f(x)关于直线x＝μ对称，又μ＞0，故选D．] 知识点2　正态分布 (1)一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ,σ(x)称为X的概率密度函数． (2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%． P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%． P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%． 1．如果X～N(μ，σ2)，那么P(X≤μ)与P(X≥μ)之间存在怎样的等量关系？ [提示]　P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝． 2．如果ξ～N(μ，σ2)，且E(ξ)＝3，D(ξ)＝1，那么P(2≤ξ≤4)为(　　) A．0.5 B．0.683 C．0.954 D．0.997 B　[∵ξ～N(μ，σ2)，且E(ξ)＝3，D(ξ)＝1，∴ξ～N(3，1)，∴P(2≤ξ≤4)＝P(3－1≤ξ≤3＋1)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.683．] 知识点3　标准正态分布 (1)定义：μ＝0且σ＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X～N(0，1)． (2)概率计算方法： 如果X～N(0，1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝P(x＜a)，其中Φ(a)表示N(0，1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围的面积． 特别地，Φ(－a)＋Φ(a)＝1． 2．正态分布Y～N(μ，σ2)化为标准正态分布的变换是什么？ [提示]　借助X＝实现转换． 3．若随机变量X～N(0，1)，则P(X＜0)＝________． 　[由标准正态曲线关于y轴对称可知P(X＜0)＝．] 类型1　利用正态分布的对称性求概率 【例1】　设X～N(10，1)． (1)求证：P(1<X<2)＝P(18<X<19)； (2)若P(X≤2)＝a，求P(10<X<18)． [解]　(1)证明：∵X～N(10，1)， ∴正态曲线φμ,σ(x)关于直线x＝10对称， 而区间(1，2)和(18，19)关于直线x＝10对称， 即P(1<X<2)＝P(18<X<19)． (2)∵P(X≤2)＋P(2<X≤10)＋P(10<X<18)＋P(X≥18)＝1，μ＝10， ∴P(X≤2)＝P(X≥18)＝a， P(2<X≤10)＝P(10<X<18)， ∴2a＋2P(10<X<18)＝1， 即P(10<X<18)＝＝－a． 充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解． (1)熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等． (2)P(X<a)＝1－P(X≥a)； P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)． [跟进训练] 1．(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2<ξ<2)＝(　　) A．0.477　　 B．0.625 C．0.954　 D．0.977 (2)设随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ>c)＝a，则