(讲义) 4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

第2课时　离散型随机变量的方差 1．理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．(重点) 2．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差．(重点) 3．会用方差解决一些实际问题．(难点) 1．通过学习离散型随机变量的方差、标准差，体会数学抽象的素养． 2．借助方差的性质及两点分布、二项分布的方差解题，提高数学建模、数学运算的素养． 某市要从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加第十五届全运会，根据以往数据，这两名运动员射击环数分布列如下表所示． 甲的环数 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 乙的环数 8 9 10 P 0.3 0.4 0.3 问题：如果从平均水平和发挥稳定性角度分析，你认为派谁参加全运会更好一些？ [提示]　甲参加全运会更好一些． 知识点1　离散型随机变量的方差与标准差 (1)定义：如果离散型随机变量X的分布列如下表所示． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝，称为离散型随机变量X的方差；称为离散型随机变量X的标准差． (2)意义：方差和标准差均刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小)． (3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则D(Y)＝a2D(X)． 1．随机变量的方差和样本方差之间有何关系？ [提示]　(1)随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而变化； (2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的． 对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差． 1．设随机变量ξ的方差D(ξ)＝1，则D(2ξ＋1)的值为(　　) A．2　　　 B．3　　　 C．4　　　 D．5 C　[因为D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×1＝4，故选C．] 知识点2　两点分布及二项分布的方差 (1)若随机变量X服从参数为p的两点分布，则D(X)＝p(1－p)． (2)若随机变量X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． 2．两点分布与二项分布的方差间存在怎样的联系？ [提示]　由于两点分布是特殊的二项分布，故两者之间是特殊与一般的关系．即若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)，取n＝1，则D(X)＝p(1－p)就是两点分布的方差． 2．若随机变量ξ～B，则D(ξ)＝________． 1　[∵ξ～B，∴D(ξ)＝4××＝1．] 类型1　离散型随机变量的方差 【例1】　袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号． (1)求X的分布列、均值和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值． [思路点拨]　(1)根据题意，由古典概型的概率公式求出分布列，再利用均值、方差的公式求解． (2)运用E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)，求a，b． [解]　(1)X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5． D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75． (2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2．又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4， ∴或即为所求． 1．求离散型随机变量X的方差的基本步骤 2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． [跟进训练] 1．(1)已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.5 x y 若E(X)＝，则D(X)等于(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． (2)已知X的分布列如下． X －1 0 1 P a ①求X2的分布列； ②计算X的方差； ③若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． (1)B　[由分布列的性质得x＋y＝0.5，又E(X)＝，所以2x＋3y＝，解得x＝，y＝， 所以D(X)＝×＋×＋×＝．] (2)[解]　①由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为 X2 0 1 P ②由①知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－．故X的方差D(X)＝×＋×＋×＝． ③E(Y)＝4E(X)＋3＝4×＋3＝2， D(Y)＝16D(