(讲义) 4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

4.2.4　随机变量的数字特征 第1课时　离散型随机变量的均值 1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点) 2．掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值．(重点) 3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点) 1．通过学习离散型随机变量的均值，体会数学抽象的素养． 2．借助数学期望公式解决问题，提升数学运算的素养． 某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？ [提示]　可对混合糖果定价为18×＋24×＋36×＝23(元/kg)． 知识点1　均值或数学期望 (1)定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)． (2)意义：它刻画了X的平均取值． (3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝aE(X)＋b． 拓展：随机变量的均值公式与加权平均数的联系 加权平均数，假设随机试验进行了n次，根据X的概率分布，在n次试验中，x1出现了p1n次，x2出现了p2n次，…，xn出现了pnn次，故在n次试验中，X出现的总次数为p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn．因此n次试验中，X出现的平均值等于＝E(X)． 故E(X)＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn． 1．若随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 则E(X)＝(　　) A．0　　B．－1　　C．－　　D．－ C　[E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－＋＝－．故选C．] 2．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________． 35　[E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35．] 知识点2　两点分布、二项分布及超几何分布的均值 (1)若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝p． (2)若X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np； (3)若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X～H(N，n，M)，则E(X)＝． 3．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________；若随机变量Y～H(10，3，5)，则E(Y)＝________． 　　[E(X)＝np＝4×＝，E(Y)＝＝．] 类型1　定义法求离散型随机变量的均值 【例1】　在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1，2，…，6)，求： (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值． [思路点拨]　(1)可先求“甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率. (2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值． [解]　只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数． (1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝． (2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，且 P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝． 从而知ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝． 定义法求离散型随机变量ξ的数学期望的步骤 (1)根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值． (2)求出ξ的每个值的概率． (3)写出ξ的分布列． (4)利用定义求出数学期望． 其中第(1)(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识． [跟进训练] 1．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望． [解]　X可取的值为1，2，3，则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝． 抽取次数X的分布列为 X 1 2 3 P E(X)＝1×＋2×＋3×＝． 类型2　常见的三种分布的均值 【例2】　(1)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为(　　) A．3　　　 B．4　　　 C．5　　　 D．2 (2)某运动员投篮命中率为p＝0.6，则 ①投篮1次时命中次数X的数学期望为________； ②重复5次投篮时，命中