(讲义) 4.2.3 第2课时 超几何分布-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

第2课时　超几何分布 1．理解超几何分布的概念．(重点) 2．理解超几何分布与二项分布的关系．(难点、易错点) 3．会用超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点) 1．通过学习超几何分布，体会数学建模、数学抽象的素养． 2．借助超几何分布解题，提高数学运算素养． 某市招募的100名医学服务志愿者中，男同志有45人，现要选派20人去市南区协助做好社区人员排查登记，其中男同志不少于10人的概率是多少？ [提示]　P＝＋＋＋…＋． 知识点　超几何分布 (1)定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M＜N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s， 这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布． (2)记法：X～H(N，n，M)． (3)分布列：如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示． X 0 1 … k … s P … … 拓展：对超几何分布的理解 (1)在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等； (2)在产品抽样中，一般为不放回抽样； (3)其概率计算可结合古典概型求得． 1．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则表示(　　) A．5件产品中有3件次品的概率 B．5件产品中有2件次品的概率 C．5件产品中有2件正品的概率 D．5件产品中至少有2件次品的概率 B　[根据超几何分布的定义可知C表示从3件次品中任选2件，C表示从7件正品中任选3件，故选B．] 2．高二(1)班共有50名学生，其中有15名学生戴眼镜，从班级中随机抽取5人，设抽到戴眼镜的人数为X， 则X～________． H(50，5，15)　[由超几何分布的定义可知，X～H(50，5，15)．] 类型1　超几何分布的辨析 【例1】　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布； (2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布； (3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布； (4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布； (5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布． [解]　(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题． (3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布． (5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题． 判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象．(2)是否为不放回抽样．(3)随机变量是否为样本中某一类个体的个数． [跟进训练] 1．下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号) ①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X； ②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X． ①②　[根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．] 类型2　超几何分布的概率及其分布列 【例2】　(对接教材)袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球． (1)求得分X的分布列； (2)求得分大于6分的概率． [解]　(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5，6，7，8． P(X＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝， P(X＝7)＝＝， P(X＝8)＝＝． 故所求分布列为 X 5 6 7 8 P (2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝． 求超几何分