(讲义) 4.2.3 第1课时 n次独立重复试验与二项分布-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

4.2.3　二项分布与超几何分布 第1课时　n次独立重复试验与二项分布 1．理解n次独立重复试验的模型．(重点) 2．理解二项分布．(难点) 3．能利用n次独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题． 1．通过学习n次独立重复试验及二项分布，体会数学建模、数学抽象的素养． 2．借助二项分布解题，提高数学运算的素养． 在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环，甲、乙两班顺利进入最后的决赛．在每一场比赛中，甲班取胜的概率为0.6，乙班取胜的概率为0.4，比赛既可以采用三局两胜制，又可以采用五局三胜制． 问题：如果你是甲班的一名同学，你认为采用哪种赛制对你班更有利？ [提示]　如果采用三局两胜制，甲班获胜的概率为 P1＝0.6×0.6＋C×0.6×0.4×0.6＝0.648； 如果采用五局三胜制，甲班获胜的概率为P2＝0.63＋C×0.62×0.4×0.6＋C×0.62×0.42×0.6＝0.682 56＞P1，所以五局三胜制对甲班更有利． 知识点1　n次独立重复试验 在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验． 1．独立重复试验必须具备哪些条件？ [提示]　(1)每次试验的条件完全相同，相同事件的概率不变； (2)各次试验结果互不影响； (3)每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的． 辨析：区分独立重复试验与独立事件 (1)两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． (2)独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果(即事件要么发生，要么不发生)，并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等． (3)独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，求某事件发生k(k∈N)次的概率常用独立重复试验的概率公式计算，就像有“至少”“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样． 1．判断下列试验是不是独立重复试验？ (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中目标； (3)口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． [解]　(1)由于试验的条件不同(硬币质地不同)，因此不是独立重复试验． (2)某人射击且击中目标的概率是稳定的，因此是独立重复试验． (3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验． 知识点2　二项分布 一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0，1，…，n， 因此X的分布列如下表所示． X 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)． 2．判断二项分布的关键点有哪些？ [提示]　判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下三个条件． (1)对立性：在一次试验中，事件A发生与否必居其一． (2)重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率都是同一常数p． (3)X的取值从0到n，中间不间断． 由上可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布． 2．若X～B(10，0.8)，则P(X＝8)等于(　　) A．C×0.88×0.22 B．C×0.82×0.28 C．0.88×0.22 D．0.82×0.28 A　[∵X～B(10，0.8)，∴P(X＝8)＝C×0.88×0.22，故选A．] 3．下列说法正确的是________．(填序号) ①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10，0.6)； ②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B． ①②　[①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．] 类型1　独立重复试验的概率 【例1