(讲义) 4.2.2 离散型随机变量的分布列-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

4.2.2　离散型随机变量的分布列 1．理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示．(重点) 2．掌握离散型随机变量的分布列的性质．(重点) 3．会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布)．(难点) 1．通过学习离散型随机变量及两点分布的概念、表示及性质，体会数学抽象的素养． 2．借助离散型随机变量的分布列求法，培养数学运算的素养． 人员的流动性给传播性疾病的确诊带来了一定的难度，而核酸检验试剂盒的量产，大大缩短了疑似病人的确诊时间． 在某疑似病人的确诊中，令X＝ 问题：如果检验呈阳性的概率为p，你能写出随机变量X的分布列吗？ [提示]　 X 1 0 P p 1－p 知识点1　离散型随机变量的分布列 (1)一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的． 离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn (2)离散型随机变量X的概率分布还可以用图(1)或图(2)来直观表示，其中，图(1)中，xk上的矩形宽为1、高为pk，因此每个矩形的面积也恰为pk；图(2)中，xk上的线段长为pk． (1) (2) (3)离散型随机变量的分布列必须满足： ①pk≥0，k＝1，2，…，n； ②pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1． 1．如何求离散型随机变量在某一范围内的概率？ [提示]　离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是(　　) D　[本题考查分布列的概念及性质，即ξ的取值应互不相同且P(ξi)≥0，i＝1，2，…，n，P(ξi)＝1． A中ξ的取值出现了重复性；B中P(ξ＝0)＝－＜0；C中P(ξi)＝＋＋＝＞1．] 2．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 2a 3a 5a 则a＝________，P(X≥1)＝________． 　　[由2a＋3a＋5a＝1得a＝．∴P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝．] 知识点2　两点分布 (1)一般地，如果随机变量X的分布列能写成如下表格的形式： X 1 0 P p 1－p 则称随机变量X服从参数为p的两点分布． (2)一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验．不难看出，如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为p，一次伯努利试验中“成功”出现的次数为X，则X服从参数为p的两点分布，因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为成功概率． 2．如何判断一个分布是否为两点分布？ [提示]　(1)看取值：随机变量只取两个值0和1． (2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立． 如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布． 3．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2，令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________． 0.8　[由Y＝－2可知3X－2＝－2，即X＝0， ∴P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8．] 类型1　分布列及其性质的应用 【例1】　设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，求： (1)P(X＝1或X＝2)； (2)P． [思路点拨]　先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，<X<的含义，利用分布列求概率． [解]　(1)∵i＝＋＋＋＝1， ∴a＝10， 则P(X＝1或X＝2) ＝P(X＝1)＋P(X＝2) ＝＋＝． (2)由a＝10， 可得P ＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3) ＝＋＋＝． 利用分布列及其性质解题时要注意两个问题 (1)X的各个取值表示的事件是互斥的． (2)不仅要注意i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1，2，…，n． [跟进训练] 1．若随机变量X的概率分布如表所示，则表中的a的值为________，P(X≥3)＝________． X 1 2 3 4 P a 　　[由题意可知 ＋＋＋a＝1， ∴a＝． P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝．] 类型2　求离散型随机变量的分布列 　求离散型随机变量y＝f(ξ)的分布列 【例2】　已知随机变量ξ的分布列为 ξ －2 －1 0 1 2 3 P 分别求出随机变量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列． [解]　由η1＝ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1，0，1，2，3时，η1的值分别为－1，－