(讲义) 4.2.1 随机变量及其与事件的联系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

4.2　随机变量 4.2.1　随机变量及其与事件的联系 1．理解随机变量的含义．(重点) 2．能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义．(难点) 3．会借助随机变量间的关系解题．(易错点) 1．通过学习随机变量，培养数学抽象的素养． 2．借助随机变量间的关系解题，提升数学运算的素养． 某篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？ [提示]　(1)投进0个球——0分；(2)投进1个球——1分；(3)投进2个球——2分；(4)投进3个球——3分． 知识点1　随机变量 (1)定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都有唯一确定的实数值与之对应，就称X为一个随机变量． (2)表示：用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示． (3)取值范围：随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围． 随机变量的取值由什么决定？ [提示]　随机变量的取值由随机试验的结果决定． 随机变量实质上是把随机试验的结果数量化．随机试验的结果不一定是数，但它可以用数来表示．如投掷一枚硬币，X＝0表示正面向上，X＝1表示反面向上．这样就建立其所有可能的试验结果与实数的一个对应关系． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个． (　　) (2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量． (　　) (3)随机变量是用来表示不同试验结果的量． (　　) (4)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 知识点2　随机变量与事件的联系 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X＞b等都表示事件，而且： (1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥； (2)事件X≤a与X＞a相互对立，因此P(X≤a)＋P(X＞a)＝1． 2．(对接教材)若P(X≤1)＝0.7，则P(X＞1)＝________． 0.3　[∵P(X≤1)＋P(X＞1)＝1，∴P(X＞1)＝1－P(X≤1)＝1－0.7＝0.3．] 知识点3　随机变量的分类 (1)离散型随机变量：若随机变量的所有可能取值都是可以一一列举出来的，那么其是离散型随机变量． (2)连续型随机变量：与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机变量可以在某个实数范围内连续取值． 3．下列变量中，是离散型随机变量的是(　　) A．到2023年10月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数 D　[离散型随机变量的取值是可以一一列举的，结合选项可知D正确．] 知识点4　随机变量之间的关系 如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量，且P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)． 4．如果X是一个离散型随机变量，且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y(　　) A．不一定是随机变量 B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量 C．可能是定值 D．一定是离散型随机变量 D　[由于X是离散型随机变量且Y＝aX＋b，故Y与X成线性关系，所以Y一定是离散型随机变量．] 类型1　随机变量的判断 【例1】　判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)标准大气压下，水沸腾的温度； (2)王老师在某天内接电话的次数； (3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次； (4)体积为64 cm3的正方体的棱长． [解]　(1)在标准大气压下，水沸腾的温度是100 ℃，是常量，故不是随机变量； (2)王老师在某天内接电话的次数是不确定的，因此是随机变量； (3)作品获奖奖次的可能性不确定，可能是一，二或三，因此是随机变量； (4)体积是64 cm3的正方体的棱长是4 cm，因此不是随机变量． 随机变量的辨析方法 (1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同． (2)随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果． 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量． [跟进训练] 1．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． (1)某座大桥一天经过的车辆数X； (2)某超市5月份每天的销售额； (3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ； (4)某水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ． [解]　(1)车辆数X的取值可以一一