(讲义) 4.1.2 第2课时 全概率公式、贝叶斯公式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

第2课时　全概率公式、贝叶斯公式 1．理解并掌握全概率公式．(重点) 2．了解贝叶斯公式．(难点) 3．会用全概率公式及贝叶斯公式解题．(易错点) 1．通过学习全概率公式及贝叶斯公式，体会逻辑推理的数学素养． 2．借助全概率公式及贝叶斯公式解题，提升数学运算的素养． 有三个罐子，1号装有2红1黑球，2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球．某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率． 问题：如何求取得红球的概率？ [提示]　P＝×＋×＋×＝． 知识点1　全概率公式 (1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)； (2)定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n． 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝＝． 全概率公式体现了哪种数学思想？ [提示]　全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可． 已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．在实际问题中，由于随机事件的复杂性，有时很难直接求得事件B发生的概率，因此我们可以分析事件B发生的各种可能情形，化整为零地去分解事件B，然后借助于全概率公式间接求出事件B发生的概率． 1．已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)等于(　　) A．　 　 　B．　 　 　C．　 　 　D． C　[P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) ＝×＋×＝．故选C．] 知识点2　贝叶斯公式 (1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有P(A|B)＝＝． (2)定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③1＞P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n． 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B)＝＝． 拓展：贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|)，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)之间的内在联系． 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)． (　　) (2)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(|A)． (　　) (3)P(A|B)＝＝． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 类型1　全概率公式及其应用 【例1】　(对接教材)某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率． [解]　设事件Bi表示所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的(i＝1，2，3)，事件A表示取到的是一件次品．其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥．运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得 P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A) ＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3) ＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋0.05×0.03 ＝0.012 5． 因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.012 5． 当直接求事件A发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把A事件分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率． [跟进训练] 1．可能造成“持续人传人”．通俗点说就是A传B，B传C，C又传D等，这就是“持续人传人”，而A，B，C被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会，仅和感染的10人中的一人接触，则感染的概率为________． 0.915　[设事件A，B，C分别表示和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D表示小明被感染