(讲义) 4.1.2 第1课时 乘法公式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

4.1.2　乘法公式与全概率公式 第1课时　乘法公式 1．掌握乘法公式及其推广．(重点) 2．会用乘法公式求相应事件的概率．(难点) 1．通过乘法公式及其推广的学习，体会数学抽象的素养． 2．借助乘法公式及其推广解题，提升数学运算素养． 小明在登录电子邮箱时，发现忘了密码的最后一位，只记得是数字0～9中的任意一个． 问题：他在尝试登录时，第一次失败，第二次成功的概率是多少？ [提示]　×＝． 知识点　乘法公式及其推广 (1)乘法公式：P(BA)＝P(A)P(B|A)，其中P(A)＞0． (2)乘法公式的推广： 设Ai表示事件，i＝1，2，3，且P(Ai)＞0，P(A1A2)＞0，则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)． 其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率． 　P(AB)，P(B)，P(A|B)(其中P(B)＞0)之间存在怎样的等量关系？ [提示]　P(AB)＝P(B)P(A|B)，其中P(B)＞0． 1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于(　　) A． B． C． D． C　[P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，故选C．] 2．若P(B|A)＝，则P(|A)＝________． 　[P(|A)＝1－P(B|A)＝1－＝．] 类型1　乘法公式及其应用 利用乘法公式解决实际问题的一般步骤是什么？ [提示]　(1)判断该应用题是否可应用乘法公式求解； (2)根据已知条件表示出各事件的概率； (3)代入乘法公式求出所要求的概率． 【例1】　一袋中装10个球， 其中3个黑球、7个白球， 先后两次从中随意各取一球(不放回)， 求两次取到的均为黑球的概率． [解]　设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1，2)，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”． 由题设知P(A1)＝，P(A2|A1)＝， 于是根据乘法公式， 有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝． [母题探究] 1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率． [解]　用A表示第一次取得黑球，则P(A)＝， 用B表示第二次取得白球，则P(B|A)＝． 故P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝． 2．(变结论)在本例条件不变的情况下，两次均取得白球的概率． [解]　用Bi表示第i次取得白球，i＝1，2，则B1B2表示事件“两次取到的均是白球”．由题意得P(B1)＝，P(B2|B1)＝． ∴P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝×＝． 乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法，即当直接计算P(AB)不好计算时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解即可． [跟进训练] 1．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为________． 0.72　[设A为“任取的一件是合格品”，B为“任取的一件是一等品”． 因为P(A)＝1－P()＝96%，P(B|A)＝75%， 且事件B发生时事件A一定发生，所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.96×0.75＝0.72．] 类型2　乘法公式的推广及应用 【例2】　设某光学仪器厂制造的透镜， 第一次落下时打破的概率为， 若第一次落下未打破， 第二次落下打破的概率为， 若前两次落下未打破， 第三次落下打破的概率为． 试求透镜落下三次而未打破的概率． [解]　以Ai(i＝1，2，3)表示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示事件“透镜落下三次而未打破”，则B＝123，故有P(B)＝P(123)＝P(1)·P(2|1)P(3|12)＝·＝． 该类问题在概率中被称为“机遇问题”，求解的关键是分清事件之间的互相关系，充分利用P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2|A1) P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An－1)求解． [跟进训练] 2．在100件产品中有5件是次品，从中连续不放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率．(结果保留两位有效数字) [解]　设Ai表示“第i次取得次品”(i＝1，2，3)，B表示“第三次才取到次品”，则B＝12A3， ∴P(B)＝P(12A3)＝P(1)P(2|1)P(A3|12)＝××≈0.046． 类型3　乘法公式的综合应用 1．P(B|A)与P(|A)存在怎样的等量关系？ [提示]　P(B|A)＋P(|A)＝1． 2．若A1，A2，A3是互斥事件，且A1∪A2∪A3＝Ω，则A1∪A2∪A3的对立事件与123相同吗？ [提示]　相同． 【例3】　把