(讲义) 4.1.1 条件概率-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

4.1　条件概率与事件的独立性 4.1.1　条件概率 1．在具体情境中，了解条件概率．(难点) 2．掌握条件概率的计算方法．(重点) 3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．(易错点) 1．通过条件概率的学习，体会数学抽象的素养． 2．借助条件概率公式解题，提升数学运算素养． 高二(1)班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员． 问题1：从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？ [提示]　． 问题2：已知抽出的是女同学的前提下，该同学是共青团员的概率又是多少？ [提示]　． 知识点1　条件概率 定义 一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率 表示 P(A|B) 计算公式 P(A|B)＝ P(A|B)与P(B|A)相同吗？ [提示]　不同，前者是事件B发生的条件下事件A发生的概率，而后者是事件A发生的条件下事件B发生的概率．一般情况下，它们也不相等． 当题目涉及“在……前提下”等字眼时，一般为条件概率，如题目中没有上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率．在条件概率的表示中，“|”之后的部分表示条件． 1．(对接教材)设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________． 0.5　[根据条件概率公式知P＝＝0.5．] 知识点2　条件概率的性质 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(A|A)＝1； (3)如果B与C互斥，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 　2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1． (　　) (2)P(B|A)≠P(A∩B)． (　　) [答案]　(1)×　(2)√ 类型1　利用定义求条件概率 【例1】　(对接教材)一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么： (1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？ [解]　(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P(A)＝，P(A∩B)＝＝，所以P(B|A)＝＝．所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为． (2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都摸出白球”为事件A1B1， P(A1)＝，P(A1∩B1)＝＝， 所以P(B1|A1)＝＝＝． 所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为． 1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P(A)，P(A∩B)； (3)代入公式求P(B|A)＝． 2．结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系． [跟进训练] 1．据某气象台统计，该地区下雨的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为．设事件A为该地区下雨，事件B为该地区刮四级以上的风，则P(B|A)＝________． 　[由题意知P(A)＝，P(AB)＝， 故P(B|A)＝＝＝．] 类型2　利用基本事件个数求条件概率 在一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有2个红球，8个黄球．现从中任取一球后(不放回)，再取一球，则已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率为多少？ [提示]　法一：依题意，在第一个球取得红球的条件下，坛子中还有8个黄球，而坛子中此时共有9个球，故再取一球为黄球的概率为． 法二：设“取出的第一个球为红色”为事件A，“取出的第二个球为黄色”为事件B， 则P(A)＝＝， P(A∩B)＝＝， 所以P(B|A)＝＝． 【例2】　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． [思路点拨]　第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解． [解]　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B． (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A＝30， 根据分步乘法计数原理n(A)＝AA＝20， 于是P(A)＝＝＝． (2)因为n(A∩B)＝A＝12，于是P(A∩B)＝＝＝． (3)法