(讲义) 3.1.3 第2课时 组合数的性质及应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

第2课时　组合数的性质及应用 1．理解组合数的性质，并会运用组合的概念，解决简单的实际问题．(重点) 2．能解决简单的排列、组合的综合问题．(难点) 通过组合解决实际问题，提升数学建模、逻辑推理和数学运算的素养． 某国际会议中心有A，B，C，D和E共5种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小4种型号，总共20个会议室．现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型号． 问题：会议中心的工作人员安排会议室的方法有多少种？ [提示]　先从5种不同功能的会议室中选3个，有C种方法，再分别从每种具有同一功能的4种型号的会议室中选2个，分别有C种方法，故会议中心的工作人员有C·3＝2 160(种)安排会议室的方法． 知识点　组合数的性质 1．C＝C； 2．C＋C＝C． 拓展：(1)性质1反映了组合数的对称性．其组合意义是从n个不同的对象中任取m个对象的组合与任取(n－m)个对象的组合是一一对应的．从n个不同对象中取出m个对象后，就剩下(n－m)个对象，因此从n个不同对象中取出m个对象的方法，与从n个不同对象中取出(n－m)个对象的方法是一一对应的，二者的取法是一样多的，反过来也一样．因此从n个不同对象中取出m个对象的组合数C等于从n个不同对象中取出(n－m)个对象的组合数C，也就是C＝C． (2)性质2的正用、逆用及变形使用： 正用时是“合二为一”，逆用时则是将组合数C拆为两个；性质2还可变形为C＝C－C，在一些题目中可简化求和． 1．若C＝C，则x的值为(　　) A．2　　　　B．4　　　　C．0　　　　D．2或4 D　[由C＝C可知x＝2或x＝6－2＝4．故选D．] 2．C＋C的值为________． 84　[C＋C＝C＝＝＝84．] 类型1　组合数的性质 【例1】　计算：(1)C＋C·C； (2)C＋C＋C＋C＋C＋C； (3)C·C(n＞0，n∈N＋)． [解]　(1)原式＝C＋C×1＝＋＝56＋4 950＝5 006． (2)原式＝2(C＋C＋C)＝2(C＋C)＝2×＝32． (3)原式＝C·C＝(n＋1)n＝n2＋n． 性质“C＝C”的意义及作用 — ↓ — [跟进训练] 1．(1)化简：C－C＋C＝________； (2)已知C－C＝C，求n的值． (1)0　[原式＝(C＋C)－C＝C－C＝0．] (2)[解]　根据题意，C－C＝C， 变形可得C＝C＋C， 由组合数的性质，可得 C＝C，故8＋7＝n＋1， 解得n＝14． 类型2　有限制条件的组合问题 【例2】　高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动． (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ (3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？ [思路点拨]　可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决． [解]　(1)从余下的34名学生中选取2名， 有C＝561(种)． ∴不同的选法有561种． (2)从34名可选学生中选取3名，有C＝5 984种． 或者C－C＝C＝5 984(种)． ∴不同的选法有5 984种． (3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝2 100种． ∴不同的选法有2 100(种)． (4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，选取方法共有N＝CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种)． ∴不同的选法有2 555种． (5)选取3名的总数有C，至多有2名女生在内的选取方式共有N＝C－C＝6 545－455＝6 090(种)． ∴不同的选法有6 090种． 常见的限制条件及解题方法 (1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据． (2)含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解． (3)分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解． [跟进训练] 2．某医院从10名医疗专家中抽调6名前往上海参加调研会，其中这10名医疗专家中有4名是内科专家．问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是内科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名内科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名内科专家的抽调方法有多少种？ [解]　(1)分步：首先从4名内科专家中任选2名，有C种选法，再从除内科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90(种)抽调方法． (2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法．