(讲义) 3.1.3 第1课时 组合与组合数-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

3.1.3　组合与组合数 第1课时　组合与组合数 1．理解组合与组合数的概念．(重点) 2．会推导组合数公式，并会应用公式求值、化简和证明．(难点) 1．通过学习组合与组合数的概念，培养数学抽象的素养． 2．借助组合数公式进行运算，培养数学运算的素养． 高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6大科目是选考的，如果考生任选3科作为自己的考试科目，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况？ 问题：其中选物理不选历史和选历史不选物理的情况又分别有几种？ [提示]　选物理不选历史和选历史不选物理分别有6种，6种．(这几个问题都与顺序无关，学完本节内容便能顺利求解．) 知识点1　组合的概念 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合． (1)所谓并成一组是指与顺序无关，例如组合a，b与组合b，a是同一组合，可以把一个组合看成一个集合． (2)组合概念的两个要点：①n个对象是不同的；②“只取不排”，即取出的m个对象组成的组合与取出对象的先后顺序无关，无序性是组合的特征性质． (3)如果两个组合中的对象完全相同，那么不管对象的顺序如何，它们都是相同的组合．如果两个组合中的对象不完全相同(即使只有一个对象不同)，那么它们就是不同的组合． 拓展： 排列与组合的异同 排列 组合 相同点 从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象 不同点 按照一定的顺序排成一列 不管顺序地并成一组 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同． (　　) (2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题． (　　) (3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 知识点2　组合数的概念、公式 定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数 表示 C(n，m都是正整数，且m≤n) 组合数公式 乘积式 C＝＝ 阶乘式 C＝ “组合”与“组合数”是同一个概念吗？ [提示]　同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念．例如，从3个不同对象a，b，c中每次取出2个对象的所有组合为ab，ac，bc，共3种，其中每一种情况都是一个组合，而组合数是3． 拓展：(1)组合数公式C＝的形式特点：①分子是m个数相乘，且第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n－m＋1；②分母是m的阶乘． (2)组合数公式C＝体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到． (3)组合数公式C＝的主要作用有：①用于计算m，n较大时的组合数；②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明． 2．C＝________，C＝________． 153　18　[C＝＝153，C＝＝18．] 3．从3，5，7，11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________． 6　[从四个数中任取两个数的取法为C＝6．] 类型1　组合的概念 【例1】　判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？ (2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ [思路点拨]　要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关． [解]　(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别． (2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别． (3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别． (4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表有顺序的区别． 1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合． 2．区分有无顺序的方法 把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． [跟进训练] 1．(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题： ①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ ②从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？ ③从9