(讲义) 3.1.2 第2课时 排列数的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

第2课时　排列数的应用 1．进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解题方法．(重点) 2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点) 1．通过应用排列知识解决实际问题，提升数学建模、逻辑推理的素养． 2．借助排列数公式计算，提升数学运算的素养． 类型1　无限制条件的排列问题 【例1】　(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ [思路点拨]　(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算． [解]　(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法． (2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法． 1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可． 2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解． [跟进训练] 1．(1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，则共有________种不同的分法． (2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，不同的选法共有________种． (1)720　(2)60　[(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A＝10×9×8＝720． (2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，应有A＝5×4×3＝60种选法．] 类型2　排队问题 　元素“相邻”与“不相邻”问题 【例2】　3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数． (1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生不能站在一起； (4)全体站成一排，男、女各不相邻． [解]　(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法； 女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法； 全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法． 由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288(种)排队方法． (2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法．故有A·A＝720(种)排队方法． (3)先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A种排法， 故共有A·A＝1 440(种)排法． (4)排好男生后让女生插空， 共有A·A＝144(种)排法． “相邻”与“不相邻”问题的解决方法 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． [跟进训练] 2．5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为(　　) A．18　　　 B．24　　　 C．36　　　 D．48 C　[5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3A×A＝36(种)．] 　元素“在”与“不在”问题 【例3】　六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站最左端，乙不站最右端． [解]　(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A·A＝480(种)． 法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A种站法，然后其余4人有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A·A＝480(种)． 法三：若对甲没有限制条件共有A种站法，甲在两端共有2A种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A－2A＝480(种)． (2)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A种，根据分步乘法计数原理，共有A·A＝48(种)站法． (3)法一：甲在最左端的站法有A种，乙在最右端的站法有A种，且甲在最左端而乙在最右端的站法有A种，共有A－2A＋A＝504(种)站法． 法二：以元素甲分类可分为两类：a．甲站最右端有A种