(讲义) 3.1.2 第1课时 排列与排列数-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

331.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 1．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点) 2．会用排列数公式进行求值和证明．(难点) 1．通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养． 2．借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养． 教师节当天，市委领导到学校考察，听完一节课后与老师们座谈，有12位教师参加，面对市委领导坐成一排． 问题：这12位老师的坐法共有多少种？ [提示]　根据上节所学分步乘法计数原理，这12位老师的不同坐法种数为12×11×10×…×2×1．(这节课将学习一种更为简捷的方法来解决这个问题．) 知识点1　排列的概念 (1)一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列． (2)特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． 两个排列相同的条件是什么？ [提示]　两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序均相同． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a，b，c与b，a，c是同一个排列． (　　) (2)从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列． (　　) (3)同一个排列中，同一个元素不能重复出现． (　　) (4)在同一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 知识点2　排列数及排列数公式 排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数 排列数的表示 A 排列数公式 乘积式 A＝n(n－1)…(n－m＋1) 阶乘式 A＝ 阶乘 A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！ 规定 0！＝1，A＝1 性质 A＋mA＝A (1)“排列”与“排列数”是两个不同的概念．“排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，所谓排成一列，是指与顺序有关，例如排列AB与排列BA是不同的，可以把一个排列看成一个类似点坐标的有序数对，它不是一个数，而是完成一件事的方法．“排列数”是指“从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数”，它是一个数． (2)符号A中，总是要求n和m都是正整数，且m≤n． 2．89×90×91×92×…×100可表示为(　　) A．A B．A C．A D．A C　[A＝100×99×98×…×(100－12＋1)＝100×99×98×…×89．] 3．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有(　　) A．3种　　　 B．4种 C．6种　　　 D．12种 C　[由排列的定义可知，共有A＝3×2×1＝6(种)排列方法．] 类型1　排列的概念 【例1】　判断下列问题是不是排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互写信． [思路点拨]　判断是不是排列问题关键是看选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题． [解]　(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题． 所以在上述各题中，(2)(5)(6)属于排列问题，(1)(3)(4)不属于排列问题． 1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”． 2．判断一个具体问题是不是排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题． [跟进训练] 1．判断下列问题是不是排列问题． (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ [解]　(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题． (2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所