(讲义) 3.1.1 第2课时 基本计数原理的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

第2课时　基本计数原理的应用 1．熟练应用两个计数原理．(重点) 2．能运用两个计数原理解决一些综合性的问题．(难点) 1．借助两个计数原理解题，提升数学运算的素养． 2．通过合理分类或分步解决问题，提升逻辑推理的素养． 类型1　组数问题 【例1】　(对接教材)用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的： (1)银行存折的四位密码？ (2)四位整数？ (3)比2 000大的四位偶数？ [解]　(1)分步解决． 第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法； 第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法； 第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法； 第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法． 由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6×5×4×3＝360(个)． (2)分步解决． 第一步：千位数字有5种选取方法； 第二步：百位数字有5种选取方法； 第三步：十位数字有4种选取方法； 第四步：个位数字有3种选取方法． 由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有 5×5×4×3＝300(个)． (3)法一：按个位是0，2，4分为三类： 第一类：个位是0的有4×4×3＝48个； 第二类：个位是2的有3×4×3＝36个； 第三类：个位是4的有3×4×3＝36个． 则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)． 法二：按千位是2，3，4，5分四类： 第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)； 第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)； 第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)； 第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个)． 则由分类加法计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个)． 法三：用0，1，2，3，4，5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类： 第一类：个位是0的有5×4×3＝60(个)； 第二类：个位是2或4的有2×4×4×3＝96(个)． 共有60＋96＝156(个)． 其中比2 000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(个)， 所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个)． 1．对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解． 2．解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则． [跟进训练] 1．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为(　　) A．6　　　 B．9　　　 C．12　　　 D．24 B　[法一：(列举法)根据0的位置分类： 第一类：0在个位有：2 110，1 210，1 120，共3个． 第二类：0在十位有：2 101，1 201，1 102，共3个． 第三类：0在百位有：2 011，1 021，1 012，共3个． 故共有3＋3＋3＝9个不同的四位数，故选B． 法二：(树形图法)如图，可知这样的数共有9个，故选B． ] 类型2　抽取(分配)问题 【例2】　(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　) A．16种 B．18种 C．37种 D．48种 (2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________种． [思路点拨]　(1)由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解． (2)先让一人去抽，再让被抽到贺卡所写人去抽． (1)C　(2)9　[(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种)．故选C． (2)不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(种)．] 求解抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树形图法、框图法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． [跟进训练] 2．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？ [解]　法一：(以小球为研究对象)分三步来完成： 第一步：放第一个小球有5种选择； 第二步：放第二个小球有4种选择； 第三步：放第三个小球有3种选择． 根据分步乘法计数原理， 共