(讲义) 3.1.1 第1课时 基本计数原理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

3.1　排列与组合 3.1.1　基本计数原理 第1课时　基本计数原理 1．通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理．(重点) 2．正确理解“完成一件事”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”．(易混点) 3．能利用两个原理解决一些简单的实际问题．(难点) 1．通过两个计数原理的学习，培养逻辑推理的素养． 2．借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，提升数学运算的素养． 十四届全国人大一次会议第五次全体会议在京召开，某政协委员3月11日从泉城济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径：一是乘坐飞机，二是乘坐动车组．假如这天适合他乘坐的飞机有3个航班，动车组有4个班次． 问题1：此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径？ [提示]　3＋4＝7(种)． 问题2：如果该委员需要在3月1日先从家乡乘坐汽车到达济南市，再乘坐飞机前往北京参加会议，其中汽车有4班，飞机有3个航班，问：此委员想从家乡到达北京共有多少种途径？ [提示]　4×3＝12(种)． 知识点1　分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 1．如何理解分类加法计数原理？ [提示]　(1)定性：①明确原理中所指的“完成一件事”是什么事；②怎样才算完成这件事；③完成这件事可以有哪些办法． (2)独立性：①完成这件事的n类办法是相互独立的；②每一类办法中的方法都可以单独完成这件事，不需要用到其他的方法． (3)分类：这是利用分类加法计数原理解题的关键，分类必须明确标准，①每一种方法都必须属于某一类，不同类的任意两种方法是不同的；②每一类中的任意两种方法也不相同． 说明：分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在这个标准下进行分类．一般地，标准不同，分类的结果也不同． 1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　　) A．1＋1＋1＝3　　 B．3＋4＋2＝9 C．3×4×2＝24 D．以上都不对 B　[分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9(种)不同的走法．] 知识点2　分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 2．如何利用分步乘法计数原理解题？ [提示]　(1)定性：①明确原理中所指的“完成一件事”是什么事；②要经过几步才能完成这件事． (2)相关性：①完成这件事需要分成若干个步骤；②只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任一步骤，这件事都不可能完成． (3)分步：这是利用分步乘法计数原理解题的关键，①准确确定分步的标准，一般地，分步的标准不同，分成的步骤数也会不同；②要注意各步骤之间必须连续；③各步骤之间既不能重复，也不能遗漏． 3．在分步乘法计数原理中，第2步采用的方法数与第1步采用的方法有关吗？ [提示]　完成任何一个步骤可选用的方法数与其他步骤所选用的方法无关． 拓展：两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果(最后一步除外)，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各步都完成了，才能完成这件事 区别二 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 联系 这两个原理都是用来计算做一件事情的不同方法数 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． (　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事． (　　) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的． (　　) (4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 3．已知x∈{2，3，7}，y∈{－1，－2，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是(　　) A．1　　　　B．3　　　　C．6　　　　D．9 D　[这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2，3，7}中任取一个值x有3种方