(练习)课时分层作业15 圆的一般方程-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版2019)

课时分层作业(十五)　圆的一般方程 一、选择题 1．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为(　　) A．(1，－1)　　　　 B． C．(－1,2) D． D　[将圆的方程化为标准方程，得＋(y＋1)2＝，所以圆心为.] 2．方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示的图形是(　　) A．一个点 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在 A　[方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)．] 3．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是(　　) A．D＝E＝0，F≠0 B．D＝F＝0，E≠0 C．D＝E≠0，F≠0 D．D＝E≠0，F＝0 D　[因为圆过原点，所以F＝0，又圆心在y＝x上，所以D＝E≠0.] 4．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是(　　) A．π B．π C．3π D．不存在 B　[所给圆的半径为r＝＝， 所以当m＝－1时，半径r取最大值，此时最大面积是π.] 5．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，则直线x＋ay＋b＝0一定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[圆心在第三象限，则a＜0，b＞0.直线x＋ay＋b＝0的斜率k＝－＞0，在x轴上的截距为－b＜0，故直线过一、二、三象限，故选D．] 二、填空题 6．已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，则其外接圆的方程为________． x2＋y2－4x－2y－20＝0　[设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 由题意可得解得 故圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.] 7．已知点P(2,1)在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________，半径为________． (0,1)　2　[点P(2,1)关于直线x＋y－1＝0的对称点为P′(0，－1)，将P(2,1)和P′(0，－1)的坐标代入圆C的方程得方程组解得 所以圆的方程为x2＋y2－2y－3＝0， 即x2＋(y－1)2＝4， 所以圆心的坐标为(0,1)，半径为2．] 8．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为________． 5　[由题意，得直线l恒过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5．] 三、解答题 9．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程． [解]　圆心C， 因为圆心在直线x＋y－1＝0上， 所以－－－1＝0，即D＋E＝－2， ① 又r＝＝，所以D2＋E2＝20， ② 由①②可得或 又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0， 所以所以圆的一般方程为 x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 10．已知关于x，y的方程为x2＋y2－2x－4y＋m＝0. (1)若此方程表示圆，求m的取值范围； (2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值． [解]　(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0， 整理得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m， 由题意知5－m＞0，解得m＜5． (2)设直线x＋2y－4＝0与圆：x2＋y2－2x－4y＋m＝0的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 整理得5y2－16y＋8＋m＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝，又OM⊥ON(O为坐标原点)，则x1x2＋y1y2＝0，x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，则(4－2y1)·(4－2y2)＋y1y2＝0，解得m＝.故m的值为. 1．(多选题)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法正确的是(　　) A．圆M的圆心为(4，－3) B．圆M被x轴截得的弦长为8 C．圆M的半径为25 D．圆M被y轴截得的弦长为6 ABD　[圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25．圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，令x＝0，则y2＋6y＝0，所以|y1－y2|＝6；令y＝0，x2－8x＝0，|x1－x2|＝8．] 2．圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，4) C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞) B　[根据圆的一般方程中D2＋E2－4F>0得(－2)2＋62－4×5a>0，