(练习)课时分层作业7 二面角-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版2019)

课时分层作业(七)　二面角 一、选择题 1．已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝a，则二面角A­BC­D的大小为(　　) A．30° B．45°　　　 C．60°　　　 D．90° C　[如图取BC的中点为E，连接AE，DE， 由题意得AE⊥BC，DE⊥BC， 且AE＝DE＝a，又AD＝a， 所以∠AED＝60°，即二面角A­BC­D的大小为60°.] 2．过正方形ABCD的顶点A作线段AP垂直于平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的大小为(　　) A． B． C． D．以上都不正确 A　[设AP＝AB＝1，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，D(0，1,0)，C(1,1,0)，所以＝(1,1，－1)，＝(0,1，－1)． 设平面PCD的法向量m＝(x，y，z)， 则 取y＝1，得m＝(0,1,1)， 平面ABP的法向量n＝(0,1,0)， 设平面ABP与平面CDP所成的角为θ， 则cos θ＝＝＝，所以θ＝.] 3．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝1，则平面PCA与平面PCB所成角的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° C　[因为P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝1， 所以以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过点B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图． 则A(0,1,0)，C(1,0,0)，B(0,0,0)，P(0,1,1)，所以＝(0，－1，－1)，＝(0,0，－1)，＝(1，－1，－1)， 设平面PAC的法向量n＝(x，y，z)， 则，取x＝1，得n＝(1,1,0)， 设平面PBC的法向量m＝(a，b，c)， 则，取b＝1，得m＝(0,1，－1)， 设二面角A­PC­B的大小为θ， 则cos θ＝＝＝，所以θ＝60°. 所以平面PCA与平面PCB所成角的大小为60°.] 4．已知二面角α­l­β的大小为60°，b和c是两条异面直线，且b⊥α，c⊥β，则b与c所成的角的大小为(　　) A．120° B．90° C．60° D．30° C　[设直线b，c的方向向量分别为b，c，b⊥α，c⊥β，所以b，c分别是平面α，β的法向量，二面角α­l­β的大小为60°，b，c的夹角为60°或120°，因为异面直线所成角为锐角或直角，所以b与c所成的角为60°.] 5．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B′­AC­D，M，N分别为AC，B′D的中点，若θ∈，则线段MN长度的取值范围为(　　) A． B． C． D．[1，] A　[连接B′M，DM，得AC⊥B′M，AC⊥DM， 所以∠DMB′是二面角B′­AC­D的平面角，且B′M＝DM＝， 在等腰△DMB′中，MN⊥B′D， 且∠DMN＝∠DMB′＝θ，θ∈， 则MN＝DMcosθ∈. 所以线段MN长度的取值范围为.] 二、填空题 6．△ABC是正三角形，P是△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC，若S△PAB∶S△ABC＝，则二面角P­AB­C的大小为________． 60°　[设二面角P­AB­C的大小为θ，PA＝PB＝PC，P在平面ABC上的射影O为△ABC的中心， 所以S△OAB＝S△ABC，又S△PAB＝S△ABC． 所以cos θ＝＝.所以θ＝60°.] 7．如图，四棱锥S­ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AB，则异面直线SB与AC所成角的大小为__________，二面角S­AB­D的大小为________． 90°　45°　[连接BD，交AC于点O，取SD的中点M，连接OM，AM，CM，则OM∥SB， 所以∠AOM即为异面直线SB与AC所成角． 因为SD⊥平面ABCD，所以∠ADS＝∠CDS＝90°， 因为正方形ABCD，所以AD＝CD， 又DM＝DM，所以△ADM≌△CDM， 所以AM＝CM， 因为O为AC的中点， 所以OM⊥AC，∠AOM＝90°， 故异面直线SB与AC所成角的大小为90°. 因为SD⊥平面ABCD，所以∠SAD即为二面角S­AB­D的平面角． 因为SD＝AB＝AD， 所以Rt△ADS为等腰直角三角形， 所以∠SAD＝45°. 故二面角S­AB­D的大小为45°.] 8．如图，在边长为2的正方体中，M为棱AB的中点，则平面B1CM与平面BCM所成角的正切值是________． 　[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 则B(2,2,0)，B1(2,2,2)，C(0，2,0)，M(2,1,0)，所以＝(2，－1,0)，＝(2,0,2)， 设