(练习)课时分层作业6 直线与平面的夹角-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版2019)

课时分层作业(六)　直线与平面的夹角 一、选择题 1．已知直线m，n与平面α所成的角都是，A，B为直线m上的两点，C，D为直线n上的两点，若线段AB在平面α上的射影长为7，线段CD＝12，则(　　) A．AB＝CD B．AB>CD C．AB<CD D．AB，CD的大小无法比较 C　[由题意，AB·cos＝7，所以AB＝，所以AB<CD．] 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值为(　　) A． B．　　　 C．　　　 D． C　[如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则平面A1BC1的一个法向量为n＝(1,1,1)，＝(1,0,0)， 设直线AD与平面A1BC1所成角为θ， 所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.] 3．OA，OB，OC是由点O出发的三条射线，两两夹角为60°，则OC与平面OAB所成角的余弦值为(　　) A． B． C．　　　 D． B　[设OC与平面OAB所成的角为θ，则cos 60°＝cos θ·cos 30°，所以cos θ＝.] 4．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，若该长方体的体积为8，则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° A　[因为在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，该长方体的体积为8， 所以2×2×AA1＝8，解得AA1＝2， 以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， A(2,0,0)，C1(0,2,2)，所以＝(－2,2,2)， 平面BB1C1C的一个法向量n＝(0,1,0)， 设直线AC1与平面BB1C1C所成的角为θ， 则sin θ＝＝，所以θ＝30°， 所以直线AC1与平面BB1C1C所成的角为30°.故选A．] 5．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则AA1与平面AB1C1所成的角为(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． A　[以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系， 则A(，1,0)，A1(，1,3)，B1(0,2,3)，C1(0,0,3)， 所以＝(0,0,3)，＝(－，1,3)，＝(－，－1,3)， 设平面AB1C1的法向量n＝(x，y，z)， 则 取x＝，得n＝(，0,1)， 设AA1与平面AB1C1所成的角为θ， 则sin θ＝＝，所以θ＝. 所以AA1与平面AB1C1所成的角为.故选A．] 二、填空题 6．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝，则异面直线AA1与BD1所成角的大小是________；BD1与平面ADD1A1所成角的大小是________． 45°　30°　[由图可知，AA1与BD1所成角大小等于∠DD1B， tan ∠DD1B＝＝1，∠DD1B＝45°；BD1与平面ADD1A1所成角为∠BD1A，tan ∠BD1A＝＝，∠BD1A＝30°.] 7．已知正四面体ABCD，则AB与平面BCD所成角的余弦值为________． 　[取CD中点E，连接BE，过A作AO⊥平面BCD，则交BE于O， 设正四面体ABCD的棱长为2， 则BE＝＝，BO＝BE＝， 因为AO⊥平面BCD，所以∠ABO是AB与平面BCD所成角，cos ∠ABO＝＝＝. 所以AB与平面BCD所成角的余弦值为.] 8．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于________． 　[如图，设A1在平面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，OA，OA1分别为x轴、z轴，过O作OA的垂线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．设△ABC边长为1， 则A，B1， 所以＝. 平面ABC的法向量n＝(0,0,1)， 则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为 sin α＝|cos〈，n〉|＝＝.] 三、解答题 9．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E，F分别是PC，AD中点． (1)求证：DE∥平面PFB； (2)求PB与平面PCD所成角的正切值． [解]　(1)证明： 取PB的中点M，连接EM，FM. 因为E，M分别是PC，PB的中点， 所以EM∥BC，EM＝BC， 因为四边形ABCD是正方形， F是AD的中点， 所以DF∥BC，DF＝BC， 所以四边形DEMF是平行四边形，所以DE∥FM， 又DE⊄平面PFB，FM⊂平面PFB， 所以DE∥平面PFB． (2)因为PD⊥平面