第03讲 5.3.1函数的单调性（9类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第03讲 5.3.1函数的单调性 课程标准 学习目标 ①理解导数与函数的单调性的关系。 ②掌握利用导数判断函数单调性的方法。 ③能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间。 ④会利用导数证明一些简单的不等式问题。 ⑤掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法。 通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性，会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式，会利用导数解决单调性与含参数相关的问题. 知识点01：函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 函数在区间内可导， (1)若，则在区间内是单调递增函数； (2)若，则在区间内是单调递减函数； (3)若恒有，则在区间内是常数函数． 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在内单调递增 在内单调递减 在内是常数函数 【即学即练1】（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期末）如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（  ）    A．函数在区间上是减函数 B．函数在区间上是减函数 C．函数在区间上是减函数 D．函数在区间上是增函数 【答案】A 【详解】对于选项A：当时，，则在上单调递减，故A正确； 对于选项B：当时，；当时，； 则在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于选项C：当时，，则在上单调递增，故C错误； 对于选项D：当时，，则在上单调递减，故D错误； 故选：A. 知识点02：求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 【即学即练2】（2023下·四川资阳·高二统考期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．， 【答案】A 【详解】因为，所以函数的定义域为， 所以，由有：， 所以函数的单调递减区间为，故B，C，D错误. 故选：A. 知识点03：由函数的单调性求参数的取值范围的方法 1、已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. 2、已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 3、已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 【即学即练3】（2023上·新疆·高三校联考期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为在区间上单调递增， 所以当时，恒成立， 即在恒成立， 又，所以. 故答案为：. 【即学即练4】（2023上·贵州贵阳·高三清华中学校考阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，求导得， 依题意，不等式在上有解，等价于在上有解， 而，当且仅当时取等号，则， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：． 知识点04：含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 题型01求函数的单调区间 【典例1】（2022下·湖北·高二统考期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023下·河北沧州·高二校考阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（2023下·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 题型02 函数与导函数图象间的关系 【典例1】（2023·高二课时练习）已知函数的导函数的图象如图，则下列结论正确的是（    ）    A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递增 【典例2】（2022下·广东深圳·高二统考期末）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023下·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数的导函数 的图像如图所示，则函数（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【变式2】（2022·湖南·校联考二模）设函数在定义域内可导，的图象如