(讲义)5.3.4 频率与概率-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

5.3.4　频率与概率 1．在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．(重点) 2．正确理解概率的意义，利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．(重点) 3．理解概率的意义以及频率与概率的区别．(难点) 1．通过频率与概率的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助概率知识理解现实生活中的实际问题，提升数学运算的核心素养． 随机抛一个瓶盖，观察它落地后的状态(如图)． (1)　　　　　(2)　　　　　(3) 问题：(1)样本空间有几个样本点？ (2)这样的随机试验是古典概型吗？ (3)你能求出盖口朝下的概率吗？ (4)怎样估计盖口朝下的概率？ [提示]　(1)3． (2)不是古典概型． (3)不能． (4)可做大量重复试验，用盖口朝下的频率估计盖口朝下的概率． 知识点　用频率估计概率 1．概率 (1)概率的统计定义：一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为． (2)性质：随机事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1． 特别地，①当A是必然事件时，P(A)＝1． ②当A是不可能事件时，P(A)＝0． 2．概率与频率之间的联系 概率是可以通过频率来“测量”的，或者说频率是概率的一个近似值．概率从数量上反映了一个事件发生可能性的大小． 1．下列说法正确的是(　　) A．任何事件的概率总是在(0，1]之间 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 C　[由概率与频率的有关概念可知C正确．] 2．已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是(　　) A．若他投100次，一定有50次投中 B．若他投一次，一定投中 C．他投一次投中的可能性大小为50% D．以上说法均错 C　[概率是指一件事情发生的可能性大小．] 类型1　对概率的理解 1．随机事件A的概率P(A)反映了什么？ [提示]　反映了事件A发生的可能性的大小． 2．随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有关系吗？ [提示]　随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生． 【例1】　经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中，10次不中，你认为这种解释正确吗？说说你的理由． [思路探究]　结合概率的意义，正确理解概率的含义． [解]　这种解释不正确，原因如下： 因为“投篮命中”是一个随机事件，90%是指此事件发生的概率，即每次投篮有90%命中的把握，但就一次投篮而言，也可能不发生，也可能发生，并不是说投100次必中90次． [母题探究] 1．(变条件)某种疾病治愈的概率是30%，有10个人来就诊，如果前7个人没有治愈，那么后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是30%? [解]　不一定．如果把治疗一个病人当作一次试验，治愈的概率是30%，是指随着试验次数的增加，大约有30%的病人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的．因此，前7个病人没有治愈是有可能的，而对后3个病人而言，其结果仍是随机的，即有可能治愈，也有可能不能治愈． 2．(变结论)经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，已知他连续投篮5次均未投中，那么下次投篮的命中率一定会大于90%，这种理解对吗？ [解]　这种理解不正确．此运动员命中率为90%，是他每次投中的可能性，但对于每一次投篮，其结果都是随机的，他连续5次未中是有可能的，但对下一次投篮而言，其命中率仍为90%，而不会大于90%． 概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定发生，只是认为发生的可能性大． 类型2　概率与频率的关系及求法 【例2】　下面的表中列出了10次抛掷硬币的试验结果，n为每次试验抛掷硬币的次数，m为硬币正面向上的次数．计算每次试验中正面向上的频率，并考查它的概率． 试验序号 抛掷次数(n) 正面向上次数(m) 正面向上的频率 1 500 251 2 500 249 3 500 256 4 500 253 5 500 251 6 500 246 7 500 244 8 500 258 9 500 262 10 500 247 [思路探究]　→→→ [解]　由频率公式fn(A)＝，可分别得出这10次试验中事件正面向上出现的频率依次为0.502，0.498，0.512，0.506，0.502，0.492，