第5章 5.3.4 频率与概率(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

5．3.4　频率与概率 学业标准 素养目标 1.了解频率与概率的关系．(重点) 2．理解用频率估计概率的意义，会用频率估计概率．(重点、难点) 1.通过在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，培养学生数学抽象核心素养． 2．通过用频率估计概率，培养学生数学运算、数据分析等核心素养． 导学 用频率估计概率 　随机事件A在n次重复试验中出现的频率是不变的吗？ [提示]　不一定．如果随机事件A在n次试验中发生了m次，则事件A发生的频率是，它和随机事件A在n次试验中发生的次数有关．比如甲、乙两同学都做了n次试验，随机事件A在n次试验中发生的次数m1和m2不一定相同，则频率就不一定一样． 　在掷硬币试验中随着试验次数的增加，频率的变化会有什么样的规律？趋近的常数称为什么？ [提示]　随着试验次数的增加，频率会稳定于某个常数并在其附近波动．这个常数就是概率． ◎结论形成 如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为．此时也有0≤P(A)≤1，而且，可以验证，此时两对立事件的概率和为1以及互斥事件的概率加法公式等概率的性质也成立． 这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率，在实践中人们经常采用这种方法来估计事件的概率． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小．(　　) (2)做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率．(　　) (3)百分率是频率，不是概率．(　　) (4)频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值．(　　) 解析　由频率与概率的意义知，(1)正确；由频率与概率之间的关系知，(2)不正确；(3)不正确，百分率通常是指概率；(4)正确． 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下：(单位：克)125　120　122　105　130　114　116　95　120　134 则样本数据落在[114.5，124.5)内的频率为 (　　) A．0.2　　　B．0.3　　　C．0.5　　　D．0.4 解析　在10只苹果中，质量数据落在[114.5，124.5)内的有4只，所以频率为＝0.4. 答案　D 3．某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明(　　) A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件 B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999 件 C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000 件产品中没有不合格产品 D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99% 解析　合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率． 答案　D 4．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下． 抽取台数 50 100 200 300 500 1 000 优等品数 40 92 192 285 478 954 (1)计算表中优等品的各个频率； (2)该厂生产的电视机优等品的概率是多少？ 解析　(1)抽样50台中优等品40台，优等品的频率为＝0.8，同理可求得频率依次为：0.92，0.96，0.95，0.956，0.954. (2)频率稳定在0.95附近，所以该厂生产的电视机优等品的概率约为0.95. 题型一　用频率估计概率（一题多变） 　下面是某批乒乓球质量检查结果表． 抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 45 92 194 470 954 1 902 优等品出 现的频率 (1)在上表中填上优等品出现的频率； (2)估计该批乒乓球优等品的概率． [解析]　(1)如下表所示． 抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 45 92 194 470 954 1 902 优等品出现的频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951 (2)从表中数据可以看出，这批乒乓球优等品的概率是0.95. [母题变式] (变结论)本例条件不变，若抽取乒乓球的数量为1 700只，则优等品的数量大约为多少？ 解析　由优等品的概率为0.95，可知抽取1 700只乒乓球时，优等品数量大约为1 700×0.95＝1 615. 虽然随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，所以可用事件发生的频率去“测量”概率，即通过计算事件发生的频率去估计概率，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.　 [触类旁通] 1．某制造商今年3月份生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个乒乓球的直径(单位：mm)，将数据分组如下： 分组 频数 频率 [39.95，39.97) 10 0.10 [39.97，39.99) 20 0.20 [39.99，40.01) 50 0.50 [40.01，40.03) 20 0.20 合计 100 1.00 若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，则这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率是 ． 解析　标准尺寸是40.00 mm，并且误差不超过0.03 mm，即直径需落在[39.97，40.03)范围内．由频率分布表知，频率为0.20＋0.50＋0.20＝0.90，所以直径误差不超过0.03 mm的概率约为0.90. 答案　0.9 题型二　对频率与概率意义的理解 　下列说法正确的是(　　) A．由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女 B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖 C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1 [解析]　一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确；D正确． [答案]　D 频率与概率的理解 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的，在试验前不能确定． (2)概率是随机事件发生的可能性大小的度量，是随机事件的本质属性，是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.　 [触类旁通] 2．(多选题)下列对“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”这句话理解正确的是(　　) A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨 C．北京和上海都可能没降雨 D．北京降雨的可能性比上海大 解析　北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，说明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，所以B、C、D正确，故选BCD． 答案　BCD 题型三　频率与概率关系的实际应用 　假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如图所示，已知乙品牌产品使用寿命小于200小时的概率估计为. (1)求a的值； (2)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率； (3)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率． [解析]　(1)由直方图可知，乙品牌产品使用寿命小于200小时的频数为30＋a，故频率为，由题意可得＝，解得a＝60. (2)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，用频率估计概率，可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为. (3)根据抽样结果，寿命大于或等于200小时的产品有(100＋80＋40)＋(90＋80＋40)＝430个，其中乙品牌产品有210个， ∴在样本中，寿命大于或等于200小时的产品是乙品牌的频率为＝， 用频率估计概率，得已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率为. [素养聚焦]　　本题主要考查频率与概率的关系，重点考查数据分析核心素养． 此类题目的解题方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率，然后根据频率与概率的关系估计事件发生的概率，据此作出统计推断.　 [触类旁通] 3．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵孵出8 513条鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题． (1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？ (2)30 000个鱼卵大约能孵化出多少条鱼苗？ 解析　(1)这种鱼卵的孵化频率为＝0.851 3，把它近似作为孵化的概率，即这种鱼卵的孵化概率是0.851 3. (2)设能孵化出x条鱼苗，则＝0.851 3，所以x＝25 539，即30 000个鱼卵大约能孵化出25 539条鱼苗． 知识落实 技法强化 频率与概率的意义． 频率与概率的区别与联系 频率：本身是随机的，在试验之前无法确定，随着试验次数的改变而改变，即使做同样次数的重复试验，得到的频率也可能会不同． 概率：是一个事件的固有属性，是[0，1]中的一个常数，不随试验结果的改变而改变． 联系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，在实际问题中，通常事件的概率是未知的，常用频率估计概率． [必备知识·基础巩固] 1．某人将一枚硬币连掷了10次，6次正面朝上，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的(　　) A．概率为　　　　　　 B．频率为 C．频率为6 D．概率接近 解析　事件A的频率为＝，故选B． 答案　B 2．给出下列三个命题，其中正确命题的个数是(　　) ①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． A．0　　　 B．1　　　 C．2　 D．3 解析　①概率指的是可能性，错误；②频率为，而不是概率，故错误；③频率不是概率，错误． 答案　A　 3．为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500 名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表： 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　　) A． B． C． D． 解析　由题意得，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200＋2 100＝3 300， 所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为＝.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.故选C． 答案　C 4．(多选题)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法得到的下述结论正确的是(　　) A．P(A)＝0.55　　　　　 B．P(B)＝0.18 C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55 解析　P(A)＝＝0.55，A正确；P(B)＝＝0.18，B正确；易知事件A，B，C互斥，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，C正确；P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.45，D不正确．故选ABC． 答案　ABC 5．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量如下(单位：g). 492　496　494　495　498　497　501　502　504 496　497　503　506　508　507　492　496　500　501　499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的概率约为 ． 解析　袋装食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的共有5袋，所以其概率约为＝0.25. 答案　0.25 6．为了调查秦岭野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天捉到这种动物400只，做好标记后放回，经过一星期后，又捉到这种动物500只(经记录后放回)，其中做过标记的有25只，按概率的方法估算，保护区内约有 只该种动物． 解析　根据题意，设保护区内约有x只这种动物，则有＝，解得x＝8 000，则保护区内约有8 000只这种动物． 答案　8 000 7．投掷硬币的结果如下表： 投掷硬币的次数 200 500 c 正面向上的次数 102 b 404 正面向上的频率 a 0.482 0.505 则a＝ ，b＝ ，c＝ ． 据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为 ． 解析　a＝＝0.51，b＝500×0.482＝241； c＝＝800. 易知正面向上的频率在0.5附近，所以若掷硬币一次，正面向上的概率为0.5. 答案　0.51　241　800　0.5 8．若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表： 分组 频数 频率 [－3，－2) 0.10 [－2，1) 8 (1，2] 0.50 (2，3] 10 (3，4] 合计 50 1.00 (1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置； (2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1，3]内的概率； (3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数． 解析　(1)如下表所示， 分组 频数 频率 [－3，－2) 5 0.10 [－2，1) 8 0.16 (1，2] 25 0.50 (2，3] 10 0.20 (3，4] 2 0.04 合计 50 1.00 (2)由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1，3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70. (3)设这批产品中的合格品件数为x，依题意有 ＝，解得x＝－20＝1 980. 所以该批产品的合格品件数估计是1 980. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)下列说法正确的有(　　) A．做9次抛掷一枚质地均匀的硬币的试验，结果有5次掷出正面，所以掷出正面的概率是 B．盒子中装有大小和形状相同的3个红球，3个黑球，2个白球，每种颜色的球被摸到的可能性相同 C．从－4，－3，－2，－1，0，1，2中任取一个数，取得的数小于0和不小于0的可能性不相同 D．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，次品的件数可能不是10件 解析　对于A中，应为掷出正面的频率是，故A错误；对于B中，摸到白球的概率要小于摸到红球或黑球的概率，故B错误；对于C中，取得的数小于0的概率大于不小于0的概率，故C正确；对于D中，任取100件产品，次品的件数是随机的，故D正确．故选CD． 答案　CD 10．(多选题)小张上班从家到公司开车有两种方案，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示： 所需时间(分钟) 30 40 50 60 方案一 0.5 0.2 0.2 0.1 方案二 0.3 0.5 0.1 0.1 则下列说法正确的是(　　) A．任选一种方案，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件 B．从所需的平均时间看，方案一比方案二更节省时间 C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选择方案一 D．若小张上下班选择不同的方案，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04 解析　“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误； 方案一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分钟)，方案二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分钟)，所以方案一比方案二更节省时间，B正确； 方案一所需时间小于45分钟的概率大于0.7，方案二所需时间小于45分钟的概率大于0.8，所以小张应该选择方案二，C错误； 若所需时间之和大于100分钟，则方案一、方案二所需的时间可以为(50，60)，(60，50)和(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，D正确．故选BD． 答案　BD 11．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[15，20)和[25，30)上为二等品，在区间[10，15)和[30，35)上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是 ． 解析　由频率分布直方图可知，一等品的频率为0.06×5＝0.3，三等品的频率为0.02×5＋0.03×5＝0.25，所以二等品的频率为1－(0.3＋0.25)＝0.45.用频率估计概率可得其为二等品的概率为0.45. 答案　0.45 12．为了解某中学学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题： (1)你的学号是奇数吗？ (2)在过路口时你是否闯过红灯？ 要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的800人(学号从1至800)中有240人回答了“是”．由此可以估计这800人中闯过红灯的人数是 ． 解析　要调查800名学生，在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同， ∴第一个问题可能被询问400次， ∵在被询问的400人中有200人学号是奇数，而有240人回答了“是”， ∴估计有40个人闯过红灯，在400人中有40个人闯过红灯， ∴根据概率的知识来计算这800人中有过闯过红灯的人数为80.故答案为80. 答案　80 13．随机抽取一个年份，对某市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 (1)在4月份任取一天，估计该市在这天不下雨的概率； (2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率． 解析　(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，该市不下雨的概率是. (2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等).这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14对，所以晴天的次日不下雨的频率为，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为. [核心价值·探索创新] 14．某中学一年级有12个班，要从中选出2个班代表学校参加某项活动，由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班中选1个班参加．有人提议用如下方法：抛掷两个骰子得到的点数和是几(见表)，就选几班，你认为这种方法公平吗？ 1点 2点 3点 4点 5点 6点 1点 2 3 4 5 6 7 2点 3 4 5 6 7 8 3点 4 5 6 7 8 9 4点 5 6 7 8 9 10 5点 6 7 8 9 10 11 6点 7 8 9 10 11 12 解析　从表中可以看出抛掷两个骰子得到点数之和是2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12的情况分别有1种、2种、3种、4种、5种、6种、5种、4种、3种、2种、1种，总结果为36种．所以点数之和为2与点数之和为12的概率相等，为； 点数之和为3与点数之和为11的概率均为＝； 点数之和为4与点数之和为10的概率均为＝； 点数之和为5与点数之和为9的概率均为＝； 点数之和为6与点数之和为8的概率均为； 点数之和为7的概率为＝. 由此分析得知，掷两枚骰子得到点数之和是几，就选几班，这种方法不公平．若按这种选法，显然7班选中的机会最大.2班和12班选中的机会最小． 15．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔偿金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数 500 130 100 150 120 (1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率． 解析　(1)用A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12， 由于投保金额为2 800元，因此赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，又事件A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27. (2)用C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”， 由已知得样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)， 而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)， 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24. 学科网（北京）股份有限公司 $