(讲义)5.1.2 数据的数字特征-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

5.1.2　数据的数字特征 1．会求样本的最值、平均数、中位数、百分位数、众数、方差等数据的数字特征值．(重点) 2．理解上述数字特征的意义，并能解决与之相关的实际问题．(难点) 1．通过求数据的数字特征，提升数学运算核心素养． 2．借助数据的数字特征的求解，培养数据分析核心素养． 2023年全国射击比赛冠军赛于2月8日在西安落下帷幕．这次总决赛中有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶十次，每次命中的环数如下： 甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4 乙：9　5　7　8　7　6　8　6　7　7 问题：(1)如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？ (2)如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ (3)两人射击的平均成绩是一样的，那么两个人的水平就没有什么差异吗？ (4)什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？ (5)什么样的指标能反映一组数据与其平均值的离散程度？ [提示]　(1)平均成绩一样，s＜s，乙比甲成绩稳定． (2)选乙． (3)有． (4)极差． (5)方差(标准差)． 知识点1　数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数 1．最值 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示． 2．平均数 (1)公式：指样本数据的平均数， 即＝(x1＋x2＋…＋xn)＝i． 一般地，利用平均数的计算公式可知，如果x1，x2,…,xn的平均数为，且a，b为常数，则 ax1＋b，ax2＋b,…,axn＋b的平均数为a＋b． (2)求和符号∑的性质 (xi＋yi)＝i＋i；(kxi)＝ki；＝nt． 3．中位数 一般地，有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2,…,x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n，则称为这组数的中位数． 4．百分位数 (1)定义 直观来说，一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p%位置的数．中位数就是一个50%分位数． (2)意义 一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值． 设一组数按照从小到大排列后为x1，x2,…,xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数． 规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)． 5．众数 一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)描述一组数据极端情况的数字特征是最值． (　　) (2)描述一组数据中心位置的数字特征可以是平均数、中位数和众数． (　　) (3)百分位数可用于了解数据的分布特点． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 2．已知一组数据10,30,50,50,60,70,80．其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　) A．平均数>中位数>众数 B．平均数<中位数<众数 C．中位数<众数<平均数 D．众数＝中位数＝平均数 D　[由所给数据可得平均数为50，中位数为50，众数为50，因此众数＝中位数＝平均数．] 知识点2　极差、方差、标准差 1．极差 一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差． 2．方差 如果x1,x2,…,xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为s2＝(xi－)2． 此时，如果a，b为常数，则 ax1＋b,ax2＋b,…,axn＋b的方差为a2s2． 3．标准差 方差的算术平方根称为标准差． 注：数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述． 方差与标准差的大小与样本数据有什么关系？ [提示]　标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小． 3．下列各数字特征中，能反映一组数据离散程度的是(　　) A．众数　　　　　 B．平均数 C．标准差 D．中位数 C　[方差与标准差反映一组数据的离散程度．] 4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4． 则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________． (1)7　(2)2　[(1)＝＝7． (2)s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2．] 类型1　平均