(讲义)4.6-4.7 函数的应用(二)&数学建模活动：生长规律的描述-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

4.6　函数的应用(二) 4.7　数学建模活动：生长规律的描述 1．了解幂函数、指数函数、对数函数的广泛应用．(重点) 2．通过数据的合理分析，能建立恰当的函数模型，解决实际问题．(难点) 1．通过三种函数模型应用题的学习，培养学生的数学建模素养． 2．借助拟合函数模型的学习，提升数学运算、数据分析核心素养． 爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕．若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁．也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理．例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式．假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%． 问题：五期后的本利和是多少？ [提示]　解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五期的本利和． 知识点　解应用题的步骤与常见函数模型 1．解决函数应用问题的基本步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原． 这些步骤可表示如图： 2．常见的函数模型 常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) (2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) (3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) (4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a＞0且a≠1) (5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) (6)分段函数模型 y＝ 1．哪些实际问题可以用指数函数模型来表示？ [提示]　人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题． 2．哪些实际问题可以用对数函数模型来表示？ [提示]　地震震级的变化规律、溶液pH值的变化规律、航天问题等． 1．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为(　　) A．300只　　B．400只　　C．500只　　D．600只 A　[由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300．] 2．如图给出了某种豆类生长枝数y(枝)与时间t(月)的图像，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是(　　) A．y＝2t2　　　　 B．y＝log2t C．y＝t3 D．y＝2t B　[因为由图像知模型增长越来越缓慢，所以只有B符合条件．] 类型1　指数函数模型 【例1】　某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万人？(精确到1年)((1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.21) [思路探究]　本题是增长率问题，可以分别写第1年、第2年，依次类推得第x年的解析式． [解]　(1)1年后该城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2； 3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3； … x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x． (2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)． (3)令y＝120，则有100×(1＋1.2%)x＝120，解方程可得x＝log1.0121.2≈16． 即大约16年后该城市人口总数将达到120万人． 在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值y，可以用公式y＝N(1＋P)x表示． [跟进训练] 1．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． 24　[由题意得 解得所以当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3eb＝×192＝24．] 2．每次用同体积的水清洗一