(讲义)4.3 指数函数与对数函数的关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

4.3　指数函数与对数函数的关系 1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，了解它们的图像间的对称关系．(重点) 2．利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异． 3．利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问题．(难点) 1．通过反函数概念及指数函数与对数函数图像间的关系学习，培养直观想象素养． 2．借助指数函数与对数函数综合应用的学习，提升数学运算、逻辑推理素养． 图中给出了指数函数y＝2x，对数函数y＝log2x的图像，解决下面的问题： 问题：(1)y＝2x图像上的点(0,1)与y＝log2x图像上的点(1,0)关于哪一条直线对称？ (2)y＝2x图像上任一点关于直线y＝x的对称点都在y＝log2x的图像上吗？反过来，y＝log2x图像上任一点关于直线y＝x的对称点都在y＝2x的图像上吗？ (3)如何由y＝2x变换出y＝log2x? [提示]　(1)关于直线y＝x对称． (2)都在y＝log2x的图像上，都在y＝2x的图像上． (3)y＝2xx＝log2yy＝log2x． 知识点1　反函数的概念与记法 1．反函数的概念 一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数，此时，称y＝f(x)存在反函数． 2．反函数的记法 函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示． 如何准确理解反函数的定义？ [提示]　(1)反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域． (2)对于任意一个函数y＝f(x)，不一定总有反函数．如y＝x2＋1(x∈R)就没有反函数． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝的反函数是y＝logx． (　　) (2)函数y＝log3x的反函数的值域为R． (　　) (3)函数y＝ex的图像与y＝lg x的图像关于y＝x对称． (　　) [提示]　(1)×．函数y＝的反函数是y＝logx(x>0)． (2)×．函数y＝log3x的反函数的值域是原函数的定义域，故y＝log3x的反函数的值域为(0，＋∞)． (3)×．互为反函数的图像关于直线y＝x对称，所以函数y＝ex的图像与y＝ln x的图像关于直线y＝x对称，函数y＝lg x的图像与y＝10x的图像关于直线y＝x对称． [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 知识点2　指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数． (2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的图像关于直线y＝x对称． [拓展]　反函数与原函数的关系如下表： 函数 定义域 值域 对应关系 y＝f(x) D C f：D→C[f(a)＝b] y＝f－1(x) C D f－1：C→D[f－1(b)＝a] 互反 互换 互逆 2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于(　　) A．log2x　　　　　　 B． C．logx D．2x－2 A　[y＝ax的反函数为f(x)＝logax，则1＝loga2，所以a＝2． 所以f(x)＝log2x．] 3．函数y＝x＋3的反函数为__________． y＝x－3(x∈R)　[由y＝x＋3，得x＝y－3， x，y互换得y＝x－3，所以原函数的反函数为y＝x－3(x∈R)．] 类型1　求函数的反函数 【例1】　(对接教材)求下列函数的反函数． (1)y＝；(2)y＝5x＋1；(3)y＝x2(x≤0)． [解]　(1)由y＝，得x＝logy，且y>0， ∴f－1(x)＝logx(x>0)． (2)由y＝5x＋1，得x＝， ∴f－1(x)＝(x∈R)． (3)由y＝x2得x＝±． 因为x≤0，所以x＝－． 所以f－1(x)＝－(x≥0)． 求反函数的一般步骤有哪几步？ [提示]　(1)求值域：由函数y＝f(x)求y的范围． (2)解出x：由y＝f(x)解出x＝f－1(y)．若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个． (3)得反函数：将x，y互换得y＝f－1(x)，注意定义域得反函数． 提醒：求反函数时，若原函数y＝f(x)的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求． [跟进训练] 1．(1)已知函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则(　　) A．f(2x)＝e2x(x∈R) B．f(2x)＝ln 2·ln x(x>0) C．f(2x)＝2ex(x∈R) D．f(2x)＝ln 2＋ln x(x>0) (2)求函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数． (1)D　[由题意知函数y＝ex与函数y＝f(x)互为反函数，y＝ex>0，所以f(x)＝ln x(x>