(讲义)4.2.3 对数函数的性质与图像-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

4.2.3　对数函数的性质与图像 1．理解对数函数的概念、图像及性质．(重点) 2．根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数．(易混点) 3．初步掌握对数函数的图像和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域、单调性、最值等问题．(难点) 1．通过对数函数定义的学习，培养数学抽象素养． 2．借助对数函数的图像与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养． 中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有8 000万至1亿年历史的黄河巨龙的肋骨．经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”． 同学们，你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧！ 问题：(1)考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝logP(P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t，那么t是P的函数吗？为什么？ (2)函数t＝logP的解析式与函数y＝log2x的解析式有什么共同特征？ [提示]　(1)t是P的函数，因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f：t＝logP，都有唯一的t值与之相对应，故t是P的函数． (2)两个函数都是对数的真数作为函数的自变量． 知识点1　对数函数的定义 一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1． 在对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．例如，y＝loga(x＋1)，y＝logax2，y＝logax＋5等函数，都是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝logx是对数函数． (　　) (2)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞)． (　　) [提示]　(1)×．对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以(1)错； (2)×．由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(2)错． [答案]　(1)×　(2)× 知识点2　对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的性质与图像 定义 y＝logax(a＞0且a≠1，x＞0) 图像 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 过定点 图像过点(1,0)，即loga1＝0 函数值特点 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 快速、准确地判断一个对数值的符号的方法：对于正数m，n，若(m－1)(n－1)>0，则logmn>0；若(m－1)(n－1)<0，则logmn<0． 函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图像位置有何影响？ [提示]　观察图像，总结变化规律： (1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图像越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴． (2)左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 2．下列函数中，定义域相同的一组是(　　) A．y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1) B．y＝x与y＝ C．y＝lg x与y＝lg D．y＝x2与y＝lg x2 C　[选项A中，y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域为R，y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}； 选项B中，y＝x的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≥0}； 选项C中，函数的定义域均为{x|x>0}； 选项D中，y＝x2的定义域为R，y＝lg x2的定义域为{x|x∈R且x≠0}．] 3．函数y＝x＋a与函数y＝logax的图像可能是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D C　[因为a为对数函数y＝logax的底数，所以a>0且a≠1．同时a为直线y＝x＋a在y轴上的截距，所以排除A、D．当a>1时，y＝logax为增函数，y＝x＋a在y轴上的截距大于1，所以排除B．] 类型1　对数函数概念的应用 【例1】　(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝loga|x|(a>0且a≠1)；③y＝logx；④y＝logx(x>0，且x≠1)；⑤y＝logx，其中是对数函数的为(　　) A．③④⑤　　B．②④⑤　　C．①③④⑤　　　　D．③⑤ (2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________． (1)D　(2