(讲义)4.1.2 指数函数的性质与图像-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

4.1.2　指数函数的性质与图像 1．理解指数函数的概念与意义，掌握与指数函数有关函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图像，并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质．(重点) 1．通过指数函数概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助指数函数图像与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养． 电视剧《西游记》中的孙悟空，是观众都喜爱的形象，他的如意金箍棒更是神奇无比，说大就大，说小就小．假设他手中的金箍棒长1.8米，他喊一声变，就能将金箍棒变为原来的2倍，那么孙悟空喊多少声“变”能将金箍棒变得比珠穆朗玛峰还高？ 问题：(1)你能写出金箍棒长度y与孙悟空喊的次数x之间的函数关系吗？ (2)若喊一声“变”，就将金箍棒变为原来的3倍呢？与第一种情况相比，哪种情况金箍棒增长得更快？ [提示]　(1)y＝1.8×2x(x∈N*)． (2)y＝1.8×3x(x∈N*)． 通过画出y＝1.8×2x与y＝1.8×3x的图像(图略)可观察得出y＝1.8×3x增长得更快． 知识点1　指数函数的定义 一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1． 指数函数中为什么规定a>0且a≠1? [提示]　(1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义； (2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，,…,该函数无意义； (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1． 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)解析式的结构特征 (1)底数：大于0且不等于1的常数． (2)指数：自变量x． (3)系数：ax的系数必须是1． 指数函数的三个结构特征是判断一个函数是否为指数函数的标准，缺一不可． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝－2x是指数函数． (　　) (2)函数y＝2x＋1是指数函数． (　　) (3)函数y＝(－2)x是指数函数． (　　) [提示]　(1)×．因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数． (2)×．因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数． (3)×．因为底数小于0，所以函数y＝(－2)x不是指数函数． [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 知识点2　指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图像和性质 a>1 0<a<1 图像 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1) 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 [拓展]　指数函数的图像特征 指数函数的图像在同一平面直角坐标系中的相对位置与底数大小的关系：在y轴的右边“底大图高”，在y轴的左边“底大图低”． 指数函数y＝a(i＝1,2,3,4)的图像，如图．由指数函数y＝ax的图像与直线x＝1相交于点(1，a)可知：①在y轴右侧，图像从上到下对应的底数由大变小；②在y轴左侧，图像从下到上对应的底数由大变小．图中的底数的大小关系为0<a4<a3<1<a2<a1． 2．指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图所示，则(　　) A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<1 C　[函数y＝ax的图像是下降的，所以0<a<1；函数y＝bx的图像是上升的，所以b>1．] 3．已知函数y＝在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为________． 12　[因为y＝在[－2，－1]上为减函数，所以m＝＝3，n＝＝9，所以m＋n＝12．] 知识点3　比较幂大小的方法 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图像的变化规律来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 4．已知a＝，b＝20.2，c＝0.20.2，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c　　　　 B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a C　[因为b＝20.2>20＝1,0<c＝0.20.2<0.20＝1，a＝＝0.20.5<0.20.2，所以b>c>a．故选C．] 类型1　指数函数的概念 【例1】　(1)下列一定是指数函数的是(　　) A．y＝ax B．y＝xa(a>0且a≠1) C．y＝ D．y＝(a－1)ax (2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　) A．a＝1或a＝3　　 B．a＝1 C．a＝3 D．a>0且a≠1 [思路探究]　(1)观察函数解析式的形式，看是