(讲义)4.1.1 实数指数幂及其运算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

4.1　指数与指数函数 4.1.1　实数指数幂及其运算 1．通过类比平方根与立方根的概念，掌握n次方根的概念和性质，进而学习根式的性质．(重点) 2．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错点) 3．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点、难点) 1．通过根式与分数指数幂的互化的学习，培养数学运算素养． 2．通过指数式的条件求值问题，提升逻辑推理素养． 公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生． 问题：若x2＝3，这样的x有几个？怎么表示？ [提示]　这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±． 知识点1　根式 1．有关幂的概念 一般地，an中的a称为底数，n称为指数． 2．根式的相关概念和性质 (1)根式的概念 一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根；当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数． (2)根式的性质 ①()n＝a． ②＝ (3)零的n次方根为零，记为＝0． 1．类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？ [提示]　若a为正数： 若a为负数： 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)当n∈N*时，()n都有意义． (　　) (2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．(　　) (3)＝π－3． (　　) (4)0的任何指数幂都等于0． (　　) [提示]　(1)当n是偶数时，()n没有意义． (2)负数没有偶次方根． (3)∵＝|3－π|＝π－3．∴(3)正确． (4)0的零次幂和0的负分数指数幂无意义．故(4)错误．] [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．下列等式成立的是(　　) A．＝·　 B．＝a－b C．a＝ D．＝－ D　[A中，当a＜0，b＜0时等式不成立；B中，当a－b＜0时等式不成立；C中，当a＜0时，等式不成立．] 知识点2　指数幂及其运算性质 1．分数指数幂 (1)定义：一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定a＝；当没有意义时，称a没有意义． (2)意义 分数指数幂 正分数指数幂 ①a＝(a>0)， ②a＝()m＝(a>0，m，n∈N*，且为既约分数) 负分数指数幂 a－s＝(as有意义且a≠0) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 当a<0时，a是否有意义，应视m，n的具体数值而定． (3)运算法则 ①前提：s，t为任意有理数． ②法则：asat＝as＋t；(as)t＝ast；(ab)s＝asbs． 2．如何理解分数指数幂？ [提示]　(1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化； (2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知a≤0时，a可能会没有意义．当a有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算； (3)运算性质：分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样．记忆有理指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，幂相乘． 2．实数指数幂 无理指数幂at(a>0，t是无理数)是一个确定的实数，有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用．因此当a＞0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义，对任意实数s和t，类似有理指数幂的运算法则仍然成立． 3．将5写为根式，正确的是(　　) A． B． C． D． D　[将5写为根式，结果应是2次根下5的立方，所以5＝．] 4．化简： (1)－(30.5)2＋(0.008)×； (2)(a>0，b>0)． [解]　(1)原式＝－3＋25×＝． (2)原式＝＝ab＝ab－1． 类型1　根式与分数指数幂的互化 【例1】　(1)若(x－2)有意义，则实数x的取值范围是(　　) A．[2，＋∞)　　　　 B．(－∞，2] C．(2，＋∞) D．(－∞，2) (2)根式(式中a＞0)的分数指数幂的形式为(　　) A．a　　　B．a　　　C．a　　　D．a [思路探究]　(1)根式化简求值⇒偶次方根被开方数非负，奇次方根被开方数为实数． (2)从里往外先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质求解． (1)C　(2)A　[(1)由负分数指数幂的意义可知，(x－2)＝，所以x－2>0，即x>2，因此x的取值范围是(2，＋∞)． (2)＝＝＝a．] 根式与分数指数幂互化的规律及技巧 (1)规律：根指数 分数指数幂的分母． 被开方数(式)的指数 分数指数幂的分子． (2)技巧：当表达式中的根号较多时，由内向外用分数指数