5.1.1 变化率问题（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

选修第二册 《第五章 一元函数的导数及其应用》 5.1 导数的概念及其意义 1 为描述现实世界中的运动、变化规律，在数学中引入了函数； 在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分(微分学和积分学)。 17世纪，牛顿和莱布尼兹在前人探索与研究的基础上，凭着敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分。 19世纪下半叶，法国数学家柯西创立了极限理论，使得微积分从此建立在一个严密的分析基础之上。 本章介绍 微积分的创立主要与四类问题的处理相关: 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度； 求曲线的切线方程； 求已知函数的最大值与最小值; 求长度、面积、体积和重心等. 但直到十九世纪以前，在微积分的发展过程中，其数学分析的严密性问题一直没有得到解决。十八世纪中，包括牛顿和莱布尼兹在内的许多大数学家都觉察到这一问题并对这个问题作了努力，但都没有成功地解决这个问题。 整个十八世纪，微积分的基础是混乱和不清楚的，许多英国数学家也许是由于仍然为古希腊的几何所束缚，因而怀疑微积分的全部工作。这个问题一直到十九世纪下半叶才由法国数学家柯西得到了完整的解决， 微积分的创立主要与四类问题的处理相关: 导数研究的问题即变化率问题： 研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 导数是微积分的核心概念之一，它定量刻画了函数的局部变化特征，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题的基本工具，能解决增长率、效率、密度、速度、加速度等实际问题. 本章介绍 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度； 求曲线的切线方程； 求已知函数的最大值与最小值; 求长度、面积、体积和重心等. 但直到十九世纪以前，在微积分的发展过程中，其数学分析的严密性问题一直没有得到解决。十八世纪中，包括牛顿和莱布尼兹在内的许多大数学家都觉察到这一问题并对这个问题作了努力，但都没有成功地解决这个问题。 整个十八世纪，微积分的基础是混乱和不清楚的，许多英国数学家也许是由于仍然为古希腊的几何所束缚，因而怀疑微积分的全部工作。这个问题一直到十九世纪下半叶才由法国数学家柯西得到了完整的解决， 选修第二册 《第五章 一元函数的导数及其应用》 5.1.1 变化率问题 4 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题. 问题1.高台跳水运动员的速度 在一次高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)=﹣4.9t²＋4.8t＋11. 思考1：你能否根据经验描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度？ 析：在上升阶段越来越慢 在下降阶段越来越快 可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态. 问题1.高台跳水运动员的速度 思考2：你能否求出运动员在0≤t≤5秒内的平均速度？ 思考3：计算运动员在0≤t≤秒内的平均速度？你发现了什么？ 即用平均速度不能准确地描述运动员在某一时间段里的运动状态. 瞬时速度 运动员在这段时间里并不处于静止状态. 问题1.高台跳水运动员的速度 思考4：瞬时速度与平均速度有什么联系与区别？ 你能否利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？ 瞬时速度是某一时刻的速度； 平均速度是某一时间段内的速度. 设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是， 若不断缩短这一时间段的长度， 那么将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度. 问题1.高台跳水运动员的速度 设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是， 若不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度. 思考5：你能否利用上述关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？ 问题1.高台跳水运动员的速度 思考5：你能否利用上述关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？ v(1)=﹣5m/s 我们发现，当△t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于﹣5. 问题1.高台跳水运动员的速度 思考5：你能否利用上述关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？ 我们发现，当△t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于﹣5. v(1)=﹣5m/s 逼近(极限)思想 问题1.高台跳水运动员的速度 思考5：你能否利用上述关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？ 思考6：求运动员在t=2s时的瞬时速度. 思考7：求运动员在t=t0s时的