5.1.1 变化率问题(课件) -【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第五章　一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5.1.1　变化率问题 [学习任务] 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.（难点） 2.掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法.（重点） 5.1.1　变化率问题 [对应学生用书第43页] 知识点一　瞬时速度 （1）瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. （2）瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h（t）,则物体在t0时刻的瞬时速度为. （3）瞬时速度与平均速度的关系：从物理的角度看,当时间间隔｜Δt｜无限趋近于0时,平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度. 5.1.1　变化率问题 知识点二　　曲线的割线和切线 （1）切线：设P0是曲线上一定点,P是曲线上的动点,当点P无限趋近于点P0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线. （2）切线的斜率：设P0（x0,y0）是曲线y＝f（x）上一点,则曲线y＝f（x）在点P0（x0,y0）处的切线的斜率为k0＝. （3）切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看,当横坐标间隔｜Δx｜无限变小时,点P无限趋近于点P0,于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T.这时,割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0. 5.1.1　变化率问题 知识点三　函数的平均变化率 　　对于函数y＝f（x）,设自变量x从x0变化到 　x0＋Δx　⁠,相应地,函数值y从f（x0）变为 　f（x0＋Δx）　⁠,这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）. 我们把比值,即＝叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率. x0＋Δx f（x0＋Δx） 5.1.1　变化率问题 [对应学生用书第44页] 探究一　求平均变化率 [例1]　已知函数f（x）＝x＋,分别计算f（x）在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快. 5.1.1　变化率问题 [解]　自变量x从1变到2时, 函数f（x）的平均变化率为 ＝＝； 自变量x从3变到5时, 函数f（x）的平均变化率为 ＝＝. 因为＜,所以函数f（x）＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快. 5.1.1　变化率问题 求函数平均变化率的步骤 （1）求自变量的改变量x2－x1； （2）求函数值的改变量f（x2）－f（x1）； （3）求平均变化率. 5.1.1　变化率问题 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 探究二　求瞬时速度 [例2]　若一物体的运动方程为s＝（路程单位：m,时间单位：s）.求： （1）物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度； [解]　（1）因为Δs＝3×52＋2－（3×32＋2）＝48, Δt＝2,所以物体在t＝3s到t＝5s这段时间内的平均速度为＝＝24（m/s）. 5.1.1　变化率问题 （2）物体在t＝1 s时的瞬时速度. [解]　（2）因为Δs＝29＋3[（1＋Δt）－3]2－29－3×（1－3）2 ＝3（Δt）2－12Δt, 所以＝＝3Δt－12, 则物体在t＝1s时的瞬时速度为 ＝（3Δt－12）＝－12（m/s）. 5.1.1　变化率问题 求瞬时速度的步骤 （1）求物体运动路程与时间的关系s＝s（t）； （2）求时间改变量Δt,位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）； （3）求平均速度v＝； （4）求瞬时速度v'＝. 5.1.1　变化率问题 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 探究三　求曲线在某点处切线的斜率或方程 [例3]　求抛物线f（x）＝x2－2x＋3在点（1,2）处的切线方程. [解]　由 ＝＝Δx, 可得切线的斜率为k＝Δx＝0. 所以切线的方程为y－2＝0×（x－1）,即y＝2. 5.1.1　变化率问题 求抛物线在某点处的切线方程的步骤 5.1.1　变化率问题 3.求曲线y＝f（x）＝x3－x＋3在点（1,3）处的切线方程. 解　因为点（1,3）在曲线上, 过点（1,3）的切线的斜率为 ＝ ＝[（Δx）2＋3Δx＋2]＝2, 故所求切线方程为y－3＝2（x－1）, 即2x－y＋1＝0. 5.1.1　变化率问题 求平均变化率时未化为最简 致错 [典例]求函数y＝从x0到x0＋Δx的平均变化率（x0≠0）. [错解] 当自变量从x0变到x0＋Δx时,函数的平均变化率为＝＝. 5.1.1　变化率问题 [正解] 当自变量从x0变到x0＋Δx时,函数的平均变化率为＝＝＝－. 5.1.1　变化率问题 　　求平均变化率有时运算量相对较大,要化成最简的形式,可运用平方差公式等常用公式进行化简. 5.1.1　变化率问题 [对应学生用书第46页] 1.函数y＝x2＋1在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率是（　　） A.2 B.2x C.2＋Δx D.2＋（Δx）2 解析　∵（1＋Δx）2＋1－（12＋1）＝2Δx＋Δx2, ∴＝2＋Δx,故选C. 答案　C 5.1.1　变化率问题 2.某质点的运动方程为s（t）＝1－t2,则该物体在[1,2]内的平均速度为 （　　） A.2 B.3 C.－2 D.－3 解析　＝＝－3. 答案　D 5.1.1　变化率问题 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 1．(1)(天津河西区高二期末)已知函数f(t)＝2t2＋ eq \f(3,2) t，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是(　　) A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11 (2)(江西赣州十九校高二期中联考)若函数f(x)＝x2－m2在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，t)) 上的平均变化率为5，则t＝(　　) A． eq \r(5) B．2 C．3 D．1 解析　(1)∵f(t)＝2t2＋ eq \f(3,2) t，∴ eq \f(f（2.5）－f（2）,2.5－2) ＝ eq \f(2×2.52＋\f(3,2)×2.5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×22＋\f(3,2)×2)),0.5) ＝10.5.故选B. (2)∵函数y＝f(x)＝x2－m2在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，t)) 上的平均变化率为5，∴ eq \f(Δy,Δx) ＝ eq \f(（t2－m2）－（22－m2）,t－2) ＝5，解得t＝3.故选C. 答案　(1)B　(2)C 2．(福建南平期末)如果某质点运动的位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的函数关系为s(t)＝ eq \f(2,t) ，那么该质点在t＝3秒时的瞬时速度为(　　) A． eq \f(2,3) 米/秒　　　　 B．－ eq \f(2,3) 米/秒 C． eq \f(2,9) 米/秒 D．－ eq \f(2,9) 米/秒 解析　 eq \f(Δs,Δt) ＝ eq \f(s（3＋Δt）－s（3）,Δt) ＝ eq \f(\f(2,3＋Δt)－\f(2,3),Δt) ＝－ eq \f(2,3（3＋Δt）) ，所以 eq \o(lim,\s\do15(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt) ＝ eq \o(lim,\s\do15(Δt→0)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3（3＋Δt）))) ＝－ eq \f(2,9) .故选D. 答案　D 3．已知函数f(x)＝x2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1＜k2＜k3　　　　 B．k2＜k1＜k3 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 解析　k1＝ eq \f(f（2）－f（1）,2－1) ＝4－1＝3，k2＝ eq \f(f（3）－f（2）,3－2) ＝9－4＝5，k3＝ eq \f(f（4）－f（3）,4－3) ＝16－9＝7，∴k1＜k2＜k3.故选A. 答案　A 4．(广东佛山月考)已知某质点的运动方程为s(t)＝3t2＋2t＋1(位移s的单位为m，时间t的单位为s). (1)求该质点在2≤t≤2＋Δt这段时间内的平均速度； (2)在(1)中，若Δt＝0.1，则平均速度是多少？ (3)求该质点在t＝2 s时的瞬时速度． 解　(1)质点在2≤t≤2＋Δt这段时间里的平均速度为 eq \f(s（2＋Δt）－s（2）,2＋Δt－2) ＝ eq \f(3（2＋Δt）2＋2（2＋Δt）＋1－17,Δt) ＝ eq \f(3（Δt）2＋14Δt,Δt) ＝(3Δt＋14)m/s. (2)当Δt＝0.1时，所求平均速度为3×0.1＋14＝14.3(m/s). (3)∵ eq \o(lim,\s\do15(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt) ＝ eq \o(lim,\s\do15(Δt→0)) (3Δt＋14)＝14， ∴该质点在t＝2 s时的瞬时速度为14 m/s. $$