(讲义)第1章 集合与常用逻辑用语 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

类型1　集合的交集、并集、补集运算 集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得；有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式或方程，再进行集合运算；还有的集合问题比较抽象，解题时需借助维恩图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解． 【例1】　已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}． (1)用列举法表示集合A与B； (2)求A∩B及∁U(A∪B)． [解]　(1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}． (2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}， 所以∁U(A∪B)＝{0,5,6}． 类型2　集合关系与运算中的求参数问题 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、维恩图帮助分析．同时还要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏． 【例2】　已知集合A＝{x|x＜－1或x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1，a＜1}，B⊆A，则实数a的取值范围为________． a＜－2或≤a＜1　[因为a＜1，所以2a＜a＋1，所以B≠∅. 画数轴如图所示， 由B⊆A知，a＋1＜－1，或2a≥1. 即a＜－2，或a≥. 由已知a＜1，所以a＜－2，或≤a＜1， 即所求a的取值范围是a＜－2或≤a＜1.] 类型3　充分条件与必要条件 充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其它知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断． 【例3】　已知集合A＝{x∈R|2x＋m＜0}，B＝{x∈R|x＜－1或x＞3}． (1)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的充分条件？ (2)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的必要条件？ [解]　(1)欲使x∈A是x∈B成立的充分条件，则只要⊆{x|x＜－1或x＞3}，则只要－≤－1，即m≥2，故存在实数m≥2时，使x∈A是x∈B成立的充分条件． (2)欲使x∈A是x∈B成立的必要条件，则只要{x|x＜－1或x＞3}⊆，则这是不可能的， 故不存在实数m，使x∈A是x∈B成立的必要条件． 类型4　全称量词命题与存在量词命题 “一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系 (1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定其结论的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词． (2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定． 【例4】　(1)下列语句不是全称量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高一(1)班绝大多数同学是团员 D．每一个实数都有大小 (2)命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则(　　) A．p是假命题；¬p：∃x∈R，x2＜0 B．p是假命题；¬p：∃x∈R，x2≤0 C．p是真命题；¬p：∀x∈R，x2＜0 D．p是真命题；¬p：∀x∈R，x2≤0 (1)C　(2)B　[(1)A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(1)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选C． (2)由于02＞0不成立，故“∀x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，故选B．] 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $$