(讲义)3.1.3 第2课时 奇偶性的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

第2课时　奇偶性的应用 1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式．(重点) 2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题．(难点、易错点) 1.利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养． 2．借助奇偶性与单调性的应用，培养逻辑推理、数学运算素养. (1)图①和图②分别是偶函数和奇函数的一部分图像，你能结合奇偶函数图像的特征画出相应图像的另一部分吗？ ①　　　　　　② (2)就图①而言，函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上的单调性是否相同？就图②而言，函数在区间与上的单调性是否相同？ 知识点一　函数的单调性与奇偶性 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为增函数(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相同． (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为减函数(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相反． 1.定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则(　　) A．f(3)＜f(－4)＜f(－π) B．f(－π)＜f(－4)＜f(3) C．f(3)＜f(－π)＜f(－4) D．f(4)＜f(－π)＜f(3) C　[∵f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)， 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，0＜3＜π＜4， ∴f(3)＜f(π)＜f(4)， 即f(3)＜f(－π)＜f(－4)．] 2.定义在[－3,3]上的偶函数f(x)在区间[0,3]上的图像如图中曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则函数f(x)的单调递减区间是________． [－1,0]和[1,3]　[利用偶函数的图像关于y轴对称，作出其在[－3,0]上的图像后写出单调递减区间． 由于函数f(x)是[－3,3]上的偶函数，所以其图像如图所示．所以它的单调递减区间为[－1,0]和[1,3]．] 知识点二　奇、偶函数的运算性质及对称问题 1．奇偶函数的运算性质 在公共定义域内： (1)两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； (2)两个偶函数的和、积都是偶函数； (3)一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数． 2．函数的对称轴与对称中心 (1)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＝f(a－x)(a为常数)，则x＝a是f(x)的对称轴． (2)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心． 3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)奇函数f(x)＝，当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同． (　　) (2)对于偶函数f(x)，恒有f(x)＝f(|x|)． (　　) (3)若存在x0使f(1－x0)＝f(1＋x0)，则f(x)关于直线x＝1对称． (　　) (4)若奇函数f(x)在(0，＋∞)上有最小值a，则f(x)在(－∞，0)上有最大值－a. (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 4.若函数f(x)的定义域为R，则f(0)＝0是函数f(x)为奇函数的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[当f(x)＝x2时，f(0)＝0，但f(x)＝x2为偶函数；若f(x)为奇函数，则f(0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，所以f(0)＝0是函数f(x)为奇函数的必要不充分条件．故选B．] 类型1　利用函数奇偶性求解析式 【例1】　(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式； (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． [思路点拨]　(1) (2) [解]　(1)设x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1， ∴当x<0时，f(x)＝－x－1. 又x＝0时，f(0)＝0， 所以f(x)＝ (2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)． 由f(x)＋g(x)＝， ① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝， ∴f(x)－g(x)＝， ② (①＋②)÷2，得f(x)＝； (①－②)÷2，得g(x)＝. 利用函数奇偶性求函数解析式的步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式； (3)利用