2.2.4 均值不等式及其应用（第1课时）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第一册）

2023-2024学年高一数学同步精品教学课件 2.2.4均值不等式及其应用（第1课时） 高一必修第一册（2019人教B版） 均值不等式 第二章 等式与不等式 ①学习目标 ②新知导入 ③新知探索 ④教材例题 ⑤课堂练习 ⑥课堂总结 ⑦作业布置 1.学会推导并掌握基本不等式; (重点） 2.理解这个基本不等式的几何意义;（难点） 3.并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等. 学习目标 新知导入 情景一：第24届国际数学家大会，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客． 思考：你能在这个图案中找出一些相等关系或 不等关系吗？ B A C D E F G H 新知导入 情景二：若a，b∈R，a2＋b2≥2ab成立吗？ 提示：成立.∵a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab. 两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢? 给定两个正数 , 数 称为 的算术平均值; 数 称为 的几何平均值. 新知探索 知识点一：均值不等式 两个数的算术平均值, 实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标, 那么几何平均值有什么几何意义呢? 尝试与发现：（1）假设一个矩形的长和宽分别为 和 , 求与这个矩形周长相等的正方形的边长, 以及与这个矩形面积相等的正方形的边长, 并比较这两个边长的大小; 新知探索 知识点一：均值不等式 （2）如下表所示, 再任意取几组正数, 算出它们的算术平均值和几何平均值, 猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小, 并根据 (1) 说出 结论的几何意义. 1 2 1 4 1 3 1 新知探索 知识点一：均值不等式 从具体实例中可以看出, 两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 即.而且, 等号成立时, 当且仅当 , 即 . 一般地, 我们有如下结论.均值不等式 如果 都是正数, 那么当且仅当 时, 等号成立. 新知探索 知识点一：均值不等式 证明 因为 都是正数, 所以 两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 那么, 均值不等式有什么几何意义呢? 值得注意的是, 均值不等式中的 可以是任意正实数, 因此我们可以代人任意满足条件的数或式子, 比如一定是正确的. 新知探索 知识点一：均值不等式 均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的 还可以为零), 其实质是: 所有周长一定的矩形中, 正方形的面积最大. 将均值不等式两边平方可得 新知探索 知识点一：均值不等式 如果矩形的长和宽分别为 和 , 那么矩形的面积为， 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积, 因此均值不等式的一个几何意义为: 均值不等式： 如果a，b都是正数，那么eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立. 两个正数的算术平均值、几何平均值定义： 新知探索 知识点一：均值不等式 给定两个正数a，b，数eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均值；数eq \r(ab)称为a，b的几何平均值. 几个重要不等式 已知a，b∈R，则有 (1)a2＋b2≥2ab； (2)(a＋b)2≥4ab； (3)2(a2＋b2)≥(a＋b)2； 当且仅当a＝b时，等号成立. 新知探索 知识点一：均值不等式 【典例】当x>0时，求eq \f(12,x)＋4x的最小值 即时训练 知识点一：均值不等式 【解析】∵x>0，∴eq \f(12,x)>0，4x>0.∴eq \f(12,x)＋4x≥2eq \r(\f(12,x)·4x)＝8eq \r(3). 当且仅当eq \f(12,x)＝4x，即x＝eq \r(3)时取最小值8eq \r(3).∴当x>0时，eq \f(12,x)＋4x的最小值为8eq \r(3). 教材例题 【典例1】已知，求的最小值，并说明为何值时取得最小值. 【解析】因为，所以根据均值不等式有，其中等号成立当且仅当，即，解得或（舍）.因此时，取得最小值2. 教材例题 【典例2】已知，求证：，并推导出等号成立的条件. 【解析】因为，所以，.根据均值不等式，得，即.当且仅当，即时，等号成立.因为，所以等号成立的条件是. 教材例题 【典例3】(1) 已知矩形的面积为 100 , 则这个矩形的长、宽各为多少时, 矩形的周长最短? 最短周长是多少? （2）已知矩形的周长为 36 , 则这个矩形的长、宽各为多少时, 它的面积最大? 最大面积是多少? 教材例题 【解析】（1