(讲义)2.2.3 一元二次不等式的解法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

2.2.3　一元二次不等式的解法 1.理解一元二次不等式的定义. 2.能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式．(重点、难点) 3.了解简单的分式不等式，并会求其解集．(难点、易错点) 1.借助一元二次不等式的概念，培养数学抽象核心素养. 2.通过学习一元二次不等式的解法，提升数学运算核心素养. 3.借助简单分式不等式的解法，培养逻辑推理核心素养. 某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5 000册．要使杂志社的销量收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？ 知识点一　一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等． 一元二次不等式的二次项系数a有a＞0或a＜0两种，注意a≠0.当a＜0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式． 1.下列不等式中，哪些是一元二次不等式(其中a，b，c，m为常数)? (1)ax2＞0； (2)x3＋5x－6≥0； (3)－x－x2≤0； (4)x2＞0； (5)mx2－5y＞0； (6)ax2＋bx＋c≤0； (7)x－＞0. [解]　 题号 是不是一元二次不等式 理由 (1) 不是 a＝0时，不符合一元二次不等式的定义 (2) 不是 x的最高次数为3 (3) 是 符合一元二次不等式的定义 (4) 是 符合一元二次不等式的定义 (5) 不是 m＝0时，为一元一次不等式．m≠0时，含有x，y两个未知数 (6) 不是 a＝0时，x的最高次数不是2 (7) 不是 不是整式不等式 知识点二　一元二次不等式的解法 1．因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)；不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)． 2．配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集． [拓展]　一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式． (1)当k≥0时，(x－h)2＞k的解集为(－∞，h－)∪(h＋，＋∞)；(x－h)2＜k的解集为(h－，h＋)． (2)当k＜0时，(x－h)2＞k的解集为R； (x－h)2＜k的解集为∅. 2.不等式x(x－2)＞0的解集为________，不等式x(x－2)＜0的解集为________． [答案]　{x|x＜0或x＞2}　{x|0＜x＜2} 3.不等式(2x－5)(x＋3)＜0的解集为________． 　[原不等式可化为(x＋3)＜0，所以－3＜x＜，所以原不等式的解集为.] 4.不等式3x2－2x＋1＞0的解集是________． R　[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.] 知识点三　分式不等式的解法 1．分式不等式的概念 分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．各种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形式＞0(≥0)或＜0(≤0)． 2．分式不等式的解法 解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解． 化分式不等式为标准型的方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式． 将分式不等式转化为整式不等式求解． 当分式不等式中含有等号，等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意．(易错点) 5.不等式≥0的解集为(　　) A． B． C． D． C　[原不等式等价于(x－1)(2x＋1)＞0或x－1＝0，解得x＜－或x＞1或x＝1，所以原不等式的解集为.] 类型1　解一元二次不等式 角度1　解不含参数的一元二次不等式 【例1】　已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝(　　) A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2} B　[法一：由x2－x－2＞0左边因式分解得(x＋1)(x－2)＞0，解得x＜－1或x＞2，则A＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}． 法二：由x2－x－2＞0左边配方可得－＞0，即＞，两边开方得＞， 所以x＞2或x＜－1， 所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}．] [母题探究] [变结论]将本例题的条件不变，添加集合B＝{x|(x－1)(x－