(讲义)2.2.1 第2课时 不等式的证明-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

第2课时　不等式的证明 1.掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能灵活选用综合法、分析法证明简单的命题．(重点、难点) 2.了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点，掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题．(难点、易错点) 1.通过综合法、分析法的证明，提升逻辑推理能力. 2.通过反证法的学习，提升数学抽象、逻辑推理能力. 知识点一　综合法 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．综合法最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论． 知识点二　分析法 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止．分析法最重要的推理形式为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件． 知识点三　反证法 首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法． 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是从结论向已知的逆推证法． (　　) (2)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求使结论成立的充分条件的过程． (　　) (3)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a≤b”． (　　) (4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立． a2＋b2－2ab≥0　(a－b)2≥0　(a－b)2≥0　[用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．] 类型1　综合法的应用 综合法证明不等式的基本思路是什么？ [提示]　从已知条件出发，综合利用各种结果，经逐步推导，最后得出结论． 【例1】　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. [思路点拨]　可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果． [证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0. ∴(a－c)2＞(b－d)2＞0. 两边同乘以，得＜. 又e＜0，∴＞. [母题探究] [变结论]本例条件不变的情况下，求证：＞. [证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. ∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0， ∴0＜＜. 又∵e＜0，∴＞. 综合法证明不等式 综合法证明不等式就是从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证得出命题成立，它是顺推或由因导果的证法． [跟进训练] 1．若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤. [证明]　∵bc－ad≥0，∴ad≤bc， ∵bd＞0， ∴≤，∴＋1≤＋1， ∴≤. 类型2　分析法的应用 【例2】　已知a＞0，证明：－≥a＋－2. [证明]　要证－≥a＋－2， 只需证≥－(2－)． 因为a＞0，所以－(2－)＝＋＞0， 所以只需证≥， 即2(2－)≥8－4， 只需证a＋≥2. 因为a＞0，所以a＋－2＝＝≥0， 所以a＋≥2显然成立(当a＝1时等号成立)， 所以要证的不等式成立． 分析法证明不等式 分析法证明命题时，就是从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，这是一种执果索因的思考和证明方法． [跟进训练] 2．若a，b∈(1，＋∞)，证明：＜. [证明]　要证＜， 只需证()2＜()2， 只需证a＋b－1－ab＜0， 即证(a－1)(1－b)＜0. 因为a＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0， 即(a－1)(1－b)＜0成立， 所以原不等式成立． 类型3　反证法的应用 【例3】　已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1. [证明]　假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1， 则有a＋b＋c＜3， 而a＋b＋c＝＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋＝2＋3≥3. 这与a＋b＋c＜3矛盾，假设不成立， 故a，b，c至少有一个不小于1. 反证法证明问题的一般步骤 [跟进训练] 3．若x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求证：与至少有一个小于2. [证明]　假设与都不小于2， 即≥2，≥2. ∵x＞0，y＞0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y， 两式相加得2＋(x