(讲义)2.2.1 第1课时 不等式及其性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

2.2　不等式 2.2.1　不等式及其性质 第1课时　不等式及其性质 1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(一般) 2.会用比较法比较两实数的大小．(重点) 3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 1.借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养. 2.通过两数(式)的大小比较，培养数学运算、逻辑推理素养. 清丽、优美的芭蕾舞剧《睡美人》序曲奏响了，一名女演员双手抚摸着舞裙，眼里闪烁着倔强和自信的目光．只见她踮起脚尖，一个优雅的旋转，轻盈地提着舞裙，飘然来到台上，在追光灯下飘起舞裙，那飘洒翩跹的舞姿，把整个舞台化成一片梦境……她为什么要踮起脚尖呢？因为一般的人，下半身长x与全身长y的比值在0.57～0.6之间．设人的脚尖立起提高了m，则下半身长与全身长度的比由变成了，这个比值非常接近黄金分割值0.618.这便是不等式在实际生活中的应用，不等式还有哪些重要的性质呢？ 知识点一　不等关系与不等式 1．不等式的定义 我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式． 2．比较两个实数(代数式)的大小 作差法的理论依据： a－b＜0⇔a＜b； a－b＝0⇔a＝b； a－b＞0⇔a＞b. 1.(1)已知t＝a＋4b，s＝a＋b2＋4，则t和s的大小关系是(　　) A．t＞s　　　B．t≥s　　　C．t＜s　　　D．t≤s (2)设a，b＞0，P＝＋，Q＝，则P与Q的大小关系是(　　) A．P≥Q B．P≤Q C．P＞Q D．P＜Q (1)D　(2)C　[(1)∵s－t＝a＋b2＋4－(a＋4b)＝b2－4b＋4＝(b－2)2≥0，∴t≤s. (2)P2＝(＋)2＝a＋b＋2，Q2＝()2＝a＋b.∵a，b＞0，∴P2＞Q2.∴P＞Q.] 知识点二　不等式的性质 1．不等式的性质 (1)性质1(可加性)：a＞b⇒a＋c＞b＋c. (2)性质2(可乘性)：⇒ac＞bc. (3)性质3(可乘性)：⇒ac＜bc. (4)性质4(传递法)：a＞b，b＞c⇒a＞c. (5)性质5(对称性)：a＞b⇔b＜a. 2．不等式性质的推论 (1)推论1(移项法则)：a＋b＞c⇒a＞c－b. (2)推论2(同向可加性)：⇒a＋c＞b＋d. (3)推论3(同向同正可乘性)：⇒ac＞bd. (4)推论4(正数乘方性)：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n＞1)． (5)推论5(正数开方性)：a＞b＞0⇒＞. 利用不等式性质应注意哪些问题？ [提示]　在使用不等式性质时，一定要弄清不等式(组)成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c的符号”等都需要注意． 2.已知a≥b，可以推出(　　) A．≥ B．ac2≥bc2 C．＞ D．(ac)2≥(bc)2 B　[∵c2≥0，a≥b，∴ac2≥bc2.] 3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d. (　　) (2)若a＞b，则＜. (　　) (3)若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞. (　　) (4)已知a＞b，e＞f，c＞0，则f－ac＜e－bc. (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ [提示]　(1)因为c＜d，所以－c＞－d，又a＞b. 所以a－c＞b－d. (2)因为a＞b，若a＞0，b＜0，则＞，故＜错误． (3)因为c＞d＞0，所以＞＞0，又因为a＞b＞0，所以＞. (4)因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，故－ac＜－bc，又因为e＞f，即f＜e， 所以f－ac＜e－bc. 类型1　比较两数(式)的大小 【例1】　(对接教材)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． ∵x≤1，∴x－1≤0， 而3x2＋1＞0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0， ∴3x3≤3x2－x＋1. [母题探究] [变条件]把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1)． ∵3x2＋1＞0， ∴当x＞1时，x－1＞0， ∴3x3＞3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1. 作差法比较两个实数(代数式)大小的基本步骤 [跟进训练] 1．设x，y是不全为零的实数，试比较(x＋2)(x＋3)与(x＋1)(x＋4)的大小． [解]　∵(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(