(讲义)2.1.3 方程组的解集-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

2.1.3　方程组的解集 1.理解方程组的解集的定义及表示方法．(难点) 2.掌握用消元法求方程组解集的方法．(重点) 3.会利用方程组知识解决一些简单的实际问题．(重点、难点) 1.通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养. 2.通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学科素养. 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则 当z＝81时，x＝________，y＝________. 知识点　方程组的解集与其解法 1．方程组的解集 一般地，将多个方程联立， 就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 2．方程组的解法 求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法． 常用的消元法有哪几种？ [提示]　解方程组时常用的消元法有代入消元法和加减消元法．代入消元时一般需要把原式化简一下再代入；加减消元时，也需要把原方程组中的某一个或某些个转化后再进行加减消元． 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程1＋＝－2是一元一次方程． (　　) (2)是方程组的解． (　　) (3)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐变少． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× [提示]　(1)方程1＋＝－2是分式方程，不是一元一次方程． (2)经代入验证，知 是方程组的解． (3)解方程组消元的方法主要有代入消元法和加减消元法． 2.二元一次方程组的解集为(　　) A．{(x，y)|(2,3)}　　　 B．{(x，y)|(3,2)} C．{(x，y)|(－2,3)} D．{(x，y)|(－2，－3)} A　[ ①＋②得：3x＋3y＝15，解得x＝2，y＝3，解集为{(x，y)|(2,3)}，故选A．] 3.(对接教材)已知A＝{(x，y)|x＋y＝5}，B＝{(x，y)|2x－y＝4}，则A∩B＝(　　) A．{(x，y)|(1,4)} B．{(x，y)|(2,3)} C．{(x，y)|(3,2)} D．{(x，y)|(4,1)} C　[根据题意，得 由代入消元法可求得x＝3，y＝2，故A∩B＝{(x，y)|(3,2)}. ] 4.已知是方程组的一个解，则此方程组的另一个解为________． 　[将代入方程组 中得即原方程组化 为 由x＋y＝1得x＝1－y，将x＝1－y代入方程x2＋y2＝13中可得y2－y－6＝0， 解得y＝3或y＝－2，将y＝3代入x＋y＝1中得x＝－2， 所以方程组的另一个解为] 类型1　二元一次方程组的解集 【例1】　求下列方程组的解集． (1) (2) [解]　(1)由①，得y＝4－x.③ 把③代入②，得2x－3(4－x)＝3.解这个方程，得x＝3. 把x＝3代入③，得y＝1. 所以原方程组的解集为{(x，y)|(3,1)}． (2)法一：①＋②，得6x＝12，所以x＝2. 把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，所以y＝1. 所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,1)}． 法二：①－②，得－14y＝－14，所以y＝1. 把y＝1代入①，得3x－7×1＝－1，所以x＝2. 所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,1)}. 1．用代入消元法解二元一次方程组的步骤 2．用加减消元法解二元一次方程组的步骤 [跟进训练] 1．求下列方程组的解集． (1) (2) [解]　(1)由②，得2y＝3x－5.③ 把③代入①，得4x＋4(3x－5)＝12，解得x＝2. 把x＝2代入③，得y＝. 所以原方程组的解集为. (2)由①×2，得16x＋18y＝146，③ 由③－②，得9x＝144，解得x＝16. 把x＝16代入①，得8×16＋9y＝73，解得y＝－. 所以原方程组的解集为. 类型2　三元一次方程组的解集 【例2】　求下列方程组的解集． (1) (2) [解]　(1)法一：将③分别代入①②，得 解得 把y＝2代入③，得x＝8. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}． 法二：②－①，得y＋4z＝10，④ ②－③，得6y＋5z＝22，⑤ 联立④⑤，得解得 把y＝2代入③，得x＝8. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}． 法三：①×5，得5x＋5y＋5z＝60，④ ④－②，得4x＋3y＝38，⑤ 联立③⑤，得解得 把x＝8，y＝2代入①，得z＝2. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}． (2)法一：由①和②，得x∶y∶z＝3∶2∶5. 设x＝3k，y＝2k，z＝5k(k≠0)，并代入③， 得5k＋3k＋2k＝20， 解得k＝2. 所以x＝3k＝6，