(讲义)2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1.理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集．(重点) 2.掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数．(重点) 3.掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方程两根的代数式的值．(重点、难点) 1.通过对一元二次方程的解集及根与系数的关系的学习，培养数学抽象、逻辑推理的数学素养. 2.通过求一元二次方程的解集，提升数学运算素养. 从前有一天，某人拿一竹竿对着大门比画：竹竿横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，斜着与门框的对角线长度相等． 问题　你知道竹竿有多长吗？ 知识点一　一元二次方程的定义 形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0. 1.方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数)一定是一元二次方程吗？ [提示]　不一定，a≠0时为一元二次方程，a＝0，b≠0时为一元一次方程． 知识点二　一元二次方程的解法 直接开平方法 形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程 配方法 把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝求解 因式分解法 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成a(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1＝－m，x2＝－n 1.(1)用配方法解方程x2－8x＋5＝0，将其化为(x＋a)2＝b的形式，正确的是(　　) A．(x＋4)2＝11　　　 B．(x＋4)2＝21 C．(x－8)2＝11 D．(x－4)2＝11 (2)用公式法解方程6x－8＝5x2时，a，b，c的值分别是(　　) A．5,6，－8 B．5，－6，－8 C．5，－6,8 D．6,5，－8 (1)D　(2)C　[(1)∵x2－8x＋5＝0，∴x2－8x＝－5，∴x2－8x＋16＝－5＋16，∴(x－4)2＝11，故选D． (2)原方程可化为5x2－6x＋8＝0，∴a＝5, b＝－6，c＝8，故选C．] 知识点三　一元二次方程根的判别式 式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ＝b2－4ac.当Δ＞0 时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根． 2.(1)方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 (2)若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是________． (1)A　(2)(－∞，4]　[(1)∵Δ＝(－5)2－4×2×3＝1＞0，∴方程2x2－5x＋3＝0有两个不相等的实数根．故选A． (2)因为一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，所以Δ＝16－4k≥0，即k≤4.] 知识点四　一元二次方程的根与系数的关系 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝. 重要推论 (1)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1，x2.那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q. (2)以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0. 2.利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？ [提示]　先把方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ＝b2－4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题． 3.(1)已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程可以是(　　) A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0 C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0 (2)若2和－5为一元二次方程x2＋bx－c＝0的两根，则b，c的值分别等于________． (1)D　(2)3,10　[(1)设所求方程为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则由题意，可得4＋(－5)＝－，4×(－5)＝，即＝1，＝－20，验证四个选项，只有D项符合条件． (2)由一元二次方程根与系数的关系，可得解得] 类型1　一元二次方程的解法 角度1　直接开平方法 【例1】　用直接开平方法求下列一元二次方程的解集． (1)4y2－25＝0； (2)3x2－x＝15－x. [解]　(1)移项，得4y2＝25. 两边都除以4，得y2＝. 解得y1＝，y2＝－， 所