2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1、 学习目标 1.会解一元二次方程，能够对二次三项式实施因式分解，会通过因式分解解一元二次方程。 2.理解一元二次方程根与系数的关系。 二、重难点 重点：一元二次方程的解法 难点：一元二次方程根与系数的关系应用 三、知识梳理 1.一元二次方程的解集： 一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式． (1)当 Δ>0时，方程的解集为________________； (2)当 Δ＝0时，方程的解集为________； (3)当 Δ<0时，方程的解集为________． 注意：一元二次方程的基本特征有两个：一是最高次幂，其指数为2；二是二次项系数不为0.判断方程解的情况，需依据判别式的符号。若二次项系数含有参数，则需要对参数进行分类讨论. 2.一元二次方程的解法 配方法 解法步骤：（1）化二次项系数为________； （2）移项：把________项移到方程的右边，二次项和一次项移到方程的左边； （3）配方：方程两边都加上________，使左边配成完全平方的形式； （4）解方程：若方程右边是非负数，通过直接开平方法求方程的根. 公式法 一元二次方程当时，________. 因式分解法 一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生的形式，则可将原方程化为两个________方程，即0或，从而得方程的两根 3.一元二次方程根与系数的关系： 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝________，x1x2＝________． 四、应用举例 例1 已知一元二次方程的两根为与，求下列各式的值. （1） （2） 例2　已知关于的方程的两根同号，求范围. 五、课堂训练 1.已知，，求，. 2.已知关于x的方程有两个相等的实数根，求实数m的取值集合. 3.求下列方程的解集： （1）； （2）. 4.已知关于x的方程的解集为空集，求实数m的取值范围. 5.已知方程的两根为与，求下列各式的值： （1）； （2）. 6.已知关于x的方程的两根同号，求实数m的取值范围. 7.求关于x的方程的解集. 8.《九章算术》第九章“勾股”问题十二：今有户①不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从②之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪③各几何. ①户：门；②从：通“纵”；③邪：指门的对角线长. 三、课后练习 1.若下列3个关于x的方程，，中最多有两个方程没有实数根，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.已知二次方程的一个根为1，则另一个根为( ) A. B. C.2 D.4 3.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数q的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.若m，n满足，，且，则的值为( ) A. B. C. D. 5.设关于x的一元二次方程有两个实根，，则( ) A. B.-1 C.1 D.m 6.已知与直线交于两点，它们的横坐标是、，若直线与x轴交点的横坐标是，则( ) A. B. C. D. 7.（多选）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是( ) A.方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B.方程有两个正根的充要条件是或 C.方程无实数根的一个必要条件是 D.当时，方程的两个实数根之和为0 8.关于x的方程的两个根为素数，则___________. 9.已知一元二次方程有两个正实根，则实数m的取值范围是___________. 10.已知关于x的方程的两个实数根为，. （1）求实数k的取值范围； （2）当时，求的值； （3）若，求实数k的值. 答案及解析 三、知识梳理 1.（1） （2） （3）⌀ 2.配方法：1 常数 一次项系数一半的平方 公式法： 因式分解法：一元一次 3.－ 五、课堂训练 1.答案：， 解析：， ， ，. 2.答案： 解析：方程有两个相等的实数根， ， 解得. 实数m的取值集合为. 3.答案：（1） （2） 解析：（1）， ， 解得或， 故、、、， 方程的解集为. （2）， ， ， 解得或， 方程的解集为. 4.答案： 解析：当时，方程化为，解得，不合题意； 当时，要使方程的解集为空集， 则，解得. 综上，实数m的取值范围是. 5.答案：（1） （2） 解析：由方程得，. （1）； （2）. 6.答案： 解析：由已知关于x的方程的两根同号， 可得解得. 故实数m的取值范围是. 7.答案：见解析 解析：原方程化为， 当时，方程的解集为； 当时，方程的解集为； 当时，方程的解集为. 8.答案：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺 解析：根据题意，作图如下： 设门的对角线长为x尺，即， 则； . 又在直角三角形BCD中，， 由勾股定理，得， 即. 整理得， 因式分解，得， 解得，. 因为且，所以舍去， 所以（尺），（尺）. 故门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺. 六、课后练习 1.答案：A 解析：假设3个关于x的方程都没有实数根，则即所以， 所以若这3个关于x的方程中最多有两个方程没有实数根，则实数a的取值范围是. 故选：A. 2.答案：A 解析：设另一根为x，由韦达定理可知，， 即， 故选：A. 3.答案：B 解析：因为有两个不相等的实数根，所以，所以. 4.答案：A 解析：由题意知m，n是方程的两个不同实根，则，，所以. 5.答案：C 解析：由题意知，，故. 6.答案：C 解析：由题设，、是方程的两个根，且， 所以，，则，， 综上，，. 故选：C. 7.答案：BC 解析：设方程有两个根，.对于A，，所以该方程不可能有一个正根和一个负根，所以A错误；对于B，方程有两个正根的充要条件是解得或，所以B正确；对于C，方程无实数根，则，解得，又，所以C正确；对于D，当时，方程无实数根，所以D错误. 8.答案：14 解析：设关于x的方程的两根分别为、，且 则因为、均为素数，所以、中一个是偶数一个是奇数， 故，，所以. 故答案为：. 9.答案： 解析：设两个正实数根分别为，. 故答案为：. 10.答案：（1）实数k的取值范围为 （2） （3） 解析：（1）因为方程有两个实数根， 所以，即，解得， 即实数k的取值范围为. （2）当时，方程为， 则所以. （3）， 又所以， 整理可得，解得或. 又由（1）知，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$