(讲义)1.2.3 第2课时 充要条件-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

第2课时　充要条件 1.理解充要条件的概念．(难点) 2.能够判定条件的充分、必要、充要性．(重点、易混点) 3.会进行简单的充要条件的证明．(重点、难点) 1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养. 2.通过充分、必要、充要性的应用，培养数学运算素养. 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“我临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，站起来一声不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去． 问题　请你用逻辑学原理解释二人离去的原因． 知识点　充要条件 1．充要条件的概念 一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 2．充要条件的判断 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． (1)如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件． (2)如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． (3)如果pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． (1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ [提示]　(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. (2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 充要条件的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若p是r的充要条件，r是s的充要条件，则s是p的充要条件． (　　) (2)设x∈R，则x＞1是x3＞1的充要条件． (　　) (3)不等式(2x＋1)(x－3)≥0成立的充要条件是x≥3. (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× 2.设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是(　　) A．x>1　　　　　　 B．x<1 C．x>3 D．x<3 A　[∵x>2⇒x>1，但x>1x>2，∴选A．] 3.已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是________． 0≤a≤2　[A∩B＝∅⇔⇔0≤a≤2.] 类型1　充要条件的判断 【例1】　(对接教材)下列各题中，p是q的什么条件？(“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) (1)p：x>0，y>0，q：xy>0； (2)p：a>b，q：a＋c>b＋c； (3)p：x>5，q：x>10； (4)p：a>b，q：a2>b2. [解]　命题(1)中，p⇒q，但qp，故p是q的充分不必要条件； 命题(2)中，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件； 命题(3)中，pq，但q⇒p，故p是q的必要不充分条件； 命题(4)中，pq，且qp，故p既不是q的充分条件也不是必要条件． 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 (1)定义法 ①分清哪个是条件，哪个是结论． ②判断“如果p，那么q”及“如果q，那么p”的真假． ③根据②得出结论． (2)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题． (4)特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来判断由条件(结论)是否能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题． (5)传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应先根据条件画出相应的“推式图”，再根据图中推式的传递性进行判断． [跟进训练] 1．在下列四个结论中，正确的有(　　) ①设x∈R，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件； ②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件； ③“a2>b2”是“a>b的充分不必要条件”； ④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件． A．①②　　　　　　 B．③④ C．①④ D．②③ C　[对于结论①，∵x＞2⇒x＞1，但x>1x＞2，故①正确；对于结论④，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故④正确．] 类型2　充分条件、必要条件、充要条件的应用 1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？ [提示]　若p是q的充分不必要条件，则AB；若p是q的必要不充分条件，则BA． 2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？ [提示]　若