(讲义)1.2.3 第1课时 充分条件与必要条件-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

1.2.3　充分条件、必要条件 第1课时　充分条件与必要条件 1.理解充分条件、必要条件的定义．(难点) 2.会判断充分条件、必要条件．(重点) 3.会根据充分不必要条件、必要不充分条件求字母的取值范围．(重点、难点) 1.通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理素养. 2.通过充分条件、必要条件的应用，培养数学运算素养. 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示． 问题　(1)A开关闭合时B灯一定亮吗？ (2)B灯亮时A开关一定闭合吗？ 知识点一　充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 (1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ (2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ [提示]　(1)相同，都是p⇒q.(2)等价． 对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释： (1)“若p，则q”形式的命题为真命题； (2)由条件p可以得到结论q； (3)p是q的充分条件或q的充分条件是p； (4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的； (5)q是p的必要条件或p的必要条件是q； (6)一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p成立是必要的． 显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已． 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件． (　　) (2)“x＞0”是“x＞1”的充分条件． (　　) (3)如果p是q的充分条件，则p是唯一的． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× [提示]　(1)因为“x2＝9”“x＝3”． (2)因为“x＞0”“x＞1”． (3)不唯一，如x＞3，x＞5，x＞10等都是x＞0的充分条件． 2.“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________ (选填“充分”或“必要”) 条件． 必要　充分　[由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．] 知识点二　用集合知识理解充分条件和必要条件 1．充分条件、必要条件与集合的关系 A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q} A⊆B p是q的充分条件 q是p的必要条件 AB p是q的不充分条件 q是p的不必要条件 B⊆A q是p的充分条件 p是q的必要条件 BA q是p的不充分条件 p是q的不必要条件 2．判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系 (1)判定定理给出了相应数学结论成立的一个充分条件． (2)性质定理给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 3．x，y∈R，下列各式中哪个是“xy≠0”的必要条件(　　) A．x＋y＝0　　　　　 B．x2＋y2＞0 C．x－y＝0 D．x3＋y3≠0 B　[因为xy≠0⇒x≠0且y≠0⇒x2＞0且y2＞0⇒x2＋y2＞0，所以“x2＋y2＞0”是“xy≠0”的必要条件．] 4.设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．(填“充分”或“必要”) 必要　[由于N⊆M，所以“a∈M”是“a∈N”的必要条件．] 类型1　充分条件 【例1】　判断下列各题中，p是不是q的充分条件： (1)p：a∈Q，q：a∈R； (2)p：a＜b，q：＜1； (3)p：x＞1，q：x2＞1； (4)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； (5)在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC； (6)已知a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0. [解]　(1)由于QR，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件． (2)由于a＜b，当b＜0时，＞1； 当b＞0时，＜1， 因此pq，所以p不是q的充分条件． (3)由x＞1可以推出x2＞1.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)设A＝{a|(a－2)(a－3)＝0}，B＝{3}， 则BA．因此pq，所以p不是q的充分条件． (5)由三角形中大角对大边可知，若∠A＞∠B， 则BC＞AC．因此，p⇒q，所以p是q的充分条件． (6)因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0， 由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q， 所以p是q的充分条件． [母题探究] [变条件]将本例(2)的条件改为“p：0＜ab＜1，q：b＜”如何判断？