(讲义)1.2.1 命题与量词-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

1.2　常用逻辑用语 1.2.1　命题与量词 1.理解命题的含义，并会判断其真假. 2.理解全称量词与全称量词命题的定义；理解存在量词与存在量词命题的定义. 3.能准确地使用全称量词和存在量词符号(即“∀，∃”)来表述相关的数学内容．(重点) 4.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(重点、难点) 1.通过对命题、全称量词、存在量词的理解，培养数学抽象素养. 2.借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算能力. 3.通过对命题真假的判定，培养逻辑推理的数学素养. 德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题“任意取一奇数，可以把它写成三个质数之和，比如77,77＝53＋17＋7”，同年欧拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正确，并且认为每一个偶数都是两个质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的，但是还需要证明．这也就是当今人们称之为哥德巴赫猜想，并誉为数学皇冠上的明珠.200多年来我国著名数学家陈景润才证明了“1＋2”,即凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上两个质数相乘，或者表示成一个质数加上一个质数，从陈景润的“1＋2”到“1＋1”似乎仅一步之遥，但它是一个迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被推翻的命题．在我们的日常生活中，我们常常遇到这样的命题： (1)对任意实数x，都有x2≥0； (2)存在有理数x，使x2－2＝0. 问题　上述命题中有哪些关键的量词？ 知识点一　命题的概念 1.下列语句是命题的有________．(填序号) ①是有理数； ②3x2≤5； ③梯形是不是平面图形呢？ ④一个数的算术平方根一定是负数． ①④　[①“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． ②因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题． ③“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． ④“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．] 2.下列命题中，真命题是__________，假命题是________．(填序号) (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x＝4时，2x＋1＜0； (3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0； (4)一个正整数不是素数就是合数； (5)若x∈N，则x2＋4x＋7＞0. (1)(3)(5)　(2)(4)　[(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形． (2)是假命题，x＝4不满足2x＋1＜0. (3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0. (4)是假命题，由于整数1既不是素数，也不是合数． (5)是真命题，因为当x∈N时，x2＋4x＋7＞0恒成立，所以该语句是命题，且是真命题．] 知识点二　全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题 全称量词 存在量词 量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题称为全称量词命题 含有存在量词的命题称为存在量词命题 命题形式 “对集合M中所有元素x，r(x)”，可用符号简记为“∀x∈M，r(x)” “存在集合M中的元素x，s(x)”，可用符号简记为“∃x∈M，s(x)” “一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式． [提示]　是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”． 3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题． (　　) (2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题． (　　) (3)全称量词命题一定含有全称量词． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× [提示]　有些命题虽然没有写出全称量词，但其意义具备“任意性”，这类命题也是全称量词命题，如“正数大于0”，即“所有正数都大于0”． 4.下列命题中，全称量词命题的个数为(　　) ①平行四边形的对角线互相平分； ②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等． A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 C　[①②是全称量词命题，③是存在量词命题．] 类型1　命题与真假命题的判断 【例1】　判断下列语句是不是命题？若是，判断其真假，并说明理由． (1)奇数的平方仍是奇数； (2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形； (3)5x＞4x； (4)未来是多么美好啊！ (5)你是高二的学生吗？ (6)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数． [解]　(1)是命题，而且是真命题． (2)是命题，而且是假命题．对角线互相垂直平分的四边形才是菱形．如图，四边形ABCD中，只满足AC⊥BD，显然不是菱形． (3)不是命题．因为x是未知数，不能