(讲义)1.1.3 第2课时 补集-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

第2课时　补集 1.了解全集的含义及其符号表示．(易混点) 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点) 3.会用维恩图、数轴进行集合的运算．(重点) 1.通过补集的运算，培养数学运算素养. 2.借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养. 太阳系有8颗行星，即水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星．原来被认为是行星的冥王星在第26届国际天文联会通过的第5号决议中，被划为矮行星，并命名为小行星134 340号，从太阳系九大行星中被除名．如果我们把名字中含有“王”的行星除去，还有几颗行星？上小学的小朋友也会回答还有6颗，但是如果我们用集合的眼光来看，就会发现一个问题：若把太阳系的行星的集合作为U，把名字中含有“王”的行星的集合作为A，把名字中不含有“王”的行星的集合作为B，那么集合A，B，U之间有怎样的关系呢？ 知识点一　全集 1．定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集． 2．记法：全集通常记作 U. 1.全集一定是实数集R吗？ [提示]　全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 1.设全集为U，M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，则U等于(　　) A．{0,2,4,6} B．{0,2,4} C．{6} D．∅ A　[∵M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}， ∴U＝M∪∁UM＝{0,2,4,6}，故选A．] 知识点二　补集 1．补集 文字语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 2．补集的运算性质 条件 给定全集U及其任意一个子集A 结论 A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A 2.∁UA，A，U三者之间有什么关系？ [提示]　(1)∁UA表示集合U为全集时，集合A在全集U中的补集，则∁UA⊆U.如果全集换成其他集合(如R)，那么符号中“U”也必须换成相应的集合(如∁RA)． (2)求∁UA的前提条件为集合A是全集U的子集． (3)若x∈U，则x∈A，x∈∁UA必居其一． 补集是相对于全集而存在的，当全集变化时，补集也随之改变，所以在讨论一个集合的补集时，必须说明是在哪个集合中的补集． 2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)∁UU＝∅，∁U∅＝U. (　　) (2)若A⊆B⊆U，则∁UA⊇∁UB． (　　) (3)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 3.(对接教材)若集合A＝{x|x>1}，则∁RA＝________. {x|x≤1}　[∵A＝{x|x>1}， ∴∁RA＝{x|x≤1}．] 4.设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{x∈Z|1＜x＜4}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{0,1,2,3} B．{5} C．{1,2,4} D．{0,4,5} D　[∵B＝{x∈Z|1＜x＜4}，∴B＝{2,3}． ∵A＝{1,2}，∴A∪B＝{1,2,3}． ∵全集U＝{0,1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{0,4,5}．故选D．] 类型1　补集的运算 【例1】　(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________； (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________. (1){2,3,5,7}　(2){x|x<－3或x＝5}　[(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}． 法二(维恩图法)：满足题意的维恩图如图所示． 由图可知B＝{2,3,5,7}． (2)将全集U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．] 通过上面的例题，你能总结一下求集合的补集的方法吗？ [提示]　(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助维恩图求解． (2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴分析求解． [跟进训练] 1．(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，则∁AB等于(　　) A．{2,4}　　　　 B．{0,1,3,5} C．{1,3,5,6} D．{x∈N*|x≤6} (2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁UA＝______. (1)C　(2){x|0<x