(讲义)1.1.2 集合的基本关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

1.1.2　集合的基本关系 1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点) 2.能识别给定集合的子集、真子集. 3.会用数学符号和维恩图表示两个集合间的关系. 1.通过对集合之间包含关系与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养. 2.借助子集和真子集的求解，培养数学运算及逻辑推理的数学素养. 3.利用维恩图培养直观想象数学素养. 草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑．如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B． 问题　(1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？ (2)集合A与集合B又存在什么关系？ 知识点一　子集与真子集 1．子集与真子集的定义 概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 AB(或BA) 2．子集、真子集的性质 (1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A． (2)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A． (3)包含关系的传递性：对于集合A，B，C． ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若AB，BC，则AC； 3．维恩图 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图． (1)任何两个集合之间是否有包含关系？ (2)符号“∈”与“⊆”有何不同？ [提示]　(1)不一定，如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． (2)符号“∈”表示元素与集合间的关系； 而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何集合至少有两个子集． (　　) (2){0,1,2}⊆{2,0,1}． (　　) (3)若A⊆B，且A≠B，则AB． (　　) (4)集合{0,1}的子集是{0}，{1}，{0,1}． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.下列命题： ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若∅A，则A≠∅. 其中正确的个数是(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 B　[在①中，空集的子集是空集，故①错误； 在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误； 在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误； 在④中，若∅A，则A≠∅，故④正确．故选B．] 3.下列图形中，表示M⊆N的是(　　) 　 A　　　 　B　　　　C　　　　　D C　[由维恩图知，易选C．] 知识点二　集合相等与子集的关系 1．一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”． 2．由集合相等以及子集的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A． 4.若M＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，N＝{1，－2}，P＝{(x，y)|y＝(x－1)(x＋2)}，则这三个集合中，具有相等关系的是________． [答案]　M和N 5.设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________. [答案]　－1 类型1　集合间关系的判断 【例1】　(1)下列各式中，正确的个数是(　　) ①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}． A．1 B．2 C．3 D．4 (2)指出下列各组集合之间的关系： ①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； ②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； ③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． (1)B　[对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B．] (2)[解]　①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． ②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB． ③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”