(课件)第1章 微专题1 空间向量应用的综合问题-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

第一章　空间向量与立体几何 微专题1　空间向量应用的综合问题 1 解决立体几何问题，常用三种方法：综合法、向量法、坐标法．处理空间图形之间的距离、夹角等度量问题时，综合法需要借助图形之间的位置关系或辅助线找出所求的距离、夹角，有一定的难度．用向量法和坐标法不用考虑图形之间的关系，直接套用相应的公式求解即可，将这些度量“公式化”，就大大降低了难度． 微专题1　空间向量应用的综合问题 微专题强化练 类型1 类型2 类型3 类型1　利用空间向量求空间角 01 微专题1　空间向量应用的综合问题 微专题强化练 类型1 类型2 类型3 3 【例1】　(2022·天津卷)直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点． (1)求证：EF∥平面ABC； [解]　证明：取BB1的中点G，连接FG，EG，连接AD交EG于K，再连接FK， ∵EK∥A1B1，且E是AA1的中点，则K是AD的中点， ∴FK∥AC，EG∥AB，又FK⊄平面ABC，AC⊂平面ABC， ∴FK∥平面ABC，同理可得，EG∥平面ABC， 又FK∩EG＝K， ∴平面EFG∥平面ABC， ∴EF∥平面ABC， 微专题1　空间向量应用的综合问题 微专题强化练 类型1 类型2 类型3 (2)求直线BE与平面CC1D夹角的正弦值； [解]　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AA1⊥A1B1，则可建立如图所示的空间直角坐标系， 又AA1＝AB＝AC＝2，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点． 故B(2，2，0)，E(1，0，0)，C(2，0，2)，C1(0，0，2)，D(0，1，0)， 则＝(－1，－2，0)，＝(－2，0，0)，＝(－2，1，－2)， 微专题1　空间向量应用的综合问题 微专题强化练 类型1 类型2 类型3 设n＝(x，y，z)是平面CC1D的法向量，则有n·＝0，n·＝0，即， 令z＝1，则x＝0，y＝2，所以n＝(0，2，1)， 设直线BE与平面CC1D的夹角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝， 即直线BE与平面CC1D夹角的正弦值为． 微专题1　空间向量应用的综合问题 微专题强化练 类型1 类型2 类型3 (3)求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值． [解]　∵A1(0，0，0)，则＝(2，0，2)，＝(0，1，0)， 设平面A1CD的法向量为m＝(x，y，z)，则有m·＝0，m·＝0， 即，令x＝1，则y＝0，z＝－1，故m＝(1，0，－1)， 设平面A1CD与平面CC1D的夹角为β， 所以cos β＝|cos 〈n，m〉|＝＝． 微专题1　空间向量应用的综合问题 微专题强化练 类型1 类型2 类型3 类型2　立体几何中的探究、开放问题 02 微专题1　空间向量应用的综合问题 微专题强化练 类型1 类型2 类型3 8 【例2】　(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1． (1)证明：BF⊥DE； [思路导引]　AB＝BC＝2，侧面AA1B1B为正方形BFAF，AC建系―→相关点坐标―→ ―→证明结论． 微专题1　空间向量应用的综合问题 微专题强化练 类型1 类型2 类型3 [解]　因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B 为正方形，所以AA1＝BB1＝CC1＝AB＝2． 又F为CC1中点，所以CF＝1． 因为CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以CC1⊥BC， 则在Rt△BCF中，BF＝＝＝． 如图所示，连接AF，由BF⊥A1B1且AB∥A1B1， 则BF⊥AB，故AF＝3，所以AC＝2， 由AB2＋BC2＝AC2，则AB⊥BC， 微专题1　空间向量应用的综合问题 微专题强化练 类型1 类型2 类型3 故如图所示，以B为坐标原点，所在方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Bxyz， 则A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(0，2，0)，E(1，1，0)，F(0，2，1)，设B1D＝m(0≤m≤2)，则D(m，0，2)． 则＝(0，2，1)，＝(1－m，1，－2)， 所以·＝0， 故BF⊥DE． 微专题1　空间向量应用的综合问题 微专题强化练 类型1 类型2 类型3 (2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？ [思路导引]　结合(1)中的空间直角坐标系平面BB1C1C平面DEF的法向量二面角的余弦公式―→二面角的余弦最大值―→二面角的正弦最小值―→B1D． 微专题1　空间向量应用的综合问题 微专题强化练 类型1 类型2 类型3 [解]　由(1)得AB⊥BC，A