(课件)1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

第一章　空间向量与立体几何 1.4　空间向量的应用 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时　用空间向量研究夹角问题 1 学习 任务 1．会用向量法求线线、线面、面面夹角．(直观想象、数学运算) 2．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．(逻辑推理、数学运算) 第2课时　用空间向量研究夹角问题 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 必备知识·情境导学探新知 01 第2课时　用空间向量研究夹角问题 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 3 在必修教材中，我们学习过异面直线所成的角、直线与平面相交所成的角以及两个平面相交所成的二面角．那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？ 第2课时　用空间向量研究夹角问题 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 知识点1　利用向量方法求两条异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝______． 知识点2　利用向量方法求直线与平面所成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n， 则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝ ______ ． 第2课时　用空间向量研究夹角问题 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 思考 1．设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v1，平面的法向量为n，则θ与〈v，n〉有什么关系？ [提示]　θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－． 第2课时　用空间向量研究夹角问题 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 知识点3　利用向量方法求两个平面的夹角 (1)平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中____________的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α 与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角， 设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉| ＝＝_________． 不大于90° 第2课时　用空间向量研究夹角问题 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 思考 2．(1)二面角与平面的夹角范围一样吗？ (2)设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，平面α1与平面α2的夹角为θ，则θ与〈n1，n2〉的关系是什么？ [提示]　(1)不一样．二面角的范围为[0，π]，而两个平面的夹角是不大于直角的角，范围是． (2)θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉． 第2课时　用空间向量研究夹角问题 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 1．设两条异面直线a，b的方向向量分别为a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)，则a与b所成的角为________． 　[设直线a与b所成的角为θ，则cos θ＝＝＝， 又θ∈，故θ＝．] 第2课时　用空间向量研究夹角问题 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 2．设直线a的方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的法向量为b＝(0，1，2)，则直线a与平面α所成角的正弦值为________． 　[由题意设直线a与平面α所成的角为θ，则sin θ＝＝＝．] 第2课时　用空间向量研究夹角问题 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 3．平面α的法向量为(1，0，－1)，平面β的法向量为(0，－1，1)，则平面α与平面β的夹角为________． 　[设u＝(1，0，－1)，v＝(0，－1，1)，α与β的夹角为θ， 则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝， ∴θ＝．] 第2课时　用空间向量研究夹角问题 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 关键能力·合作探究释疑难 02 类型1　两条异面直线所成的角 类型2　直线与平面所成的角 类型3　两个平面的夹角 第2课时　用空间向量研究夹角问题 课时分层作业 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 12 ◆ 类型1　两条异面直线所成的角 【例1】　(源自北师大版教材)如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′