第十八题 数列大题常见题型分析-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅱ卷专用）

第十八题 数列大题常见题型分析 真题展示与解法精粹 已知为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 典型高考真题 一、解答题 1．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 2．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 3．（2023·全国·统考高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 4．（2023·天津·统考高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)已知为等比数列，对于任意，若，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及其前项和． 5．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 6．（2022·全国·统考高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 7．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 8．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 9．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 10．（2021·全国·统考高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 11．（2021·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 12．（2021·全国·统考高考真题）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 模拟题训练 一、解答题 1．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 2．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求k的最小值． 3．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知等差数列的公差为2，且成等比数列． (1)求数列的前项和； (2)若数列的首项，求数列的通项公式． 4．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知数列为等比数列，在数列中，，，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，，求数列的前项和. 5．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且，． (1)求证：数列是等比数列． (2)判断是否存在正整数p，q，r（），是的，，成等差数列．若存在，求出p，q，r的一组值；若不存在，请说明理由． 6．（2023·广东佛山·统考一模）已知数列是正项等比数列，数列满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，，设数列和中的所有项按从小到大的顺序排列构成数列，记数列的前项和为，求 7．（2023·全国·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，． (1)若，求数列的通项公式． (2)若数列是等差数列，且，其前项和为，求的值，并求使成立的的最大值． 8．（2023·全国·模拟预测）已知为数列的前项和，是公差为1的等差数列． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若，数列的最大项为，求的值． 9．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列前项的乘积，若，求的最大值． 10．（2023·云南大理·统考一模）记为数列的前n项和，已知，是公差为1的等差数列. (1)求的通项公式； (2)证明：. 11．（2023·江西景德镇·统考一模）记为数列的前n项和，时，满足，. (1)求的通项公式； (2)求. 12．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且当时，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求的前项和. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八题 数列大题常见题型分析 真题展示与解法精粹 已知为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 【思路分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【解析】【小问1详解】