第十题 抛物线-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅱ卷专用）

第十题 抛物线 真题展示与解法精粹 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形 典型高考真题 一、单选题 1．（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（2021·全国·统考高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 二、多选题 4．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 5．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 三、填空题 6．（2023·全国·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 7．（2021·全国·统考高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 四、双空题 8．（2021·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 五、解答题 9．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 10．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． （1）求C的方程; （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值. 11．（2021·全国·统考高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 12．（2021·浙江·统考高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围. 模拟题训练 一、单选题 1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，A，B为C上两点，且均在第一象限，过A，B作l的垂线，垂足分别为D，E.若，，则的外接圆面积为（    ）. A． B． C． D． 3．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）已知抛物线，直线与C的一个交点为M，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·广东梅州·统考三模）已知抛物线的焦点为，点，线段与抛物线相交于点，若抛物线在点处的切线与直线垂直，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，则该杯盏的高度为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（2023·云南大理·统考一模）过抛物线C：上一点作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M、N，则（    ） A．C的准线方程是 B．过C的焦点的最短弦长为12 C．直线过定点 D．当点A到直线的距离最大时，直线的方程为 10．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）设抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点，若，且，则抛物