(讲义)5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

第2课时　两角和与差的正弦、余弦公式 1．掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式．(逻辑推理) 2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．(数学运算) 你能借助公式C(α－β)推导出C(α＋β)吗？如何推导？如何实现正弦函数与余弦函数的转换，由此可以导出S(α＋β)吗？让我们一起进入今天的学习课堂． 知识点　三个公式 (1)两角和的余弦公式 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，其中α，β∈R，简记作C(α＋β)． (2)两角和的正弦公式 sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)； (3)两角差的正弦公式 sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α－β)． 1．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin α＝________，sin ＝________． [答案]　－　－ 2．(1)cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°＝________． (2)sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝________． [答案]　(1)　(2) 类型1　给角求值问题 【例1】　(1)cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°的值为(　　) A．－ B．－ C． D． (2)＝________． (1)B　(2)2－　[(1)法一：原式＝sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40°＝－(cos 20°cos 40°－sin 20°sin 40°)＝－cos 60°＝－． 法二：原式＝cos 70°sin 40°－cos 20°cos 40° ＝sin 40°cos 70°－sin 70°cos 40° ＝sin (40°－70°)＝sin (－30°) ＝－sin 30°＝－． (2)原式＝ ＝ ＝＝＝ ＝＝2－．] 　解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变形后注意进行约分，解题时要逆用或变用公式． [跟进训练] 1．求值：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝________； (2)sin 15°＋sin 75°＝________． (1)　(2) 　[(1)原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin (14°＋16°)＝sin 30°＝． (2)sin 15°＋sin 75°＝sin (45°－30°)＋sin (45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝2sin 45°cos 30°＝．] 类型2　给值求值问题 【例2】　已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角．求cos (α＋β)、sin (α－β)的值． [解]　因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－， 所以cos α＝，sin β＝． 所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝＝－． 所以 sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝＝－． [母题探究] 若本例条件不变，求sin (α＋β)的值． [解]　由本例可知sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝． 　给值求值问题的解题策略 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． [跟进训练] 2．(源自苏教版教材)已知cos (α＋β)＝，cos β＝，α，β均为锐角，求sin α的值． [解]　由α，β均为锐角，可知0°<α＋β<180°，从而sin β>0，sin (α＋β)>0． 由cos (α＋β)＝，得 sin (α＋β)＝＝＝． 由cos β＝，得 sin β＝＝＝． 由公式S(α－β)，可得 sin α＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)·sin β＝＝． 类型3　给值求角问题 【例3】　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值． [解]　因为α和β均为钝角，sin α＝，sin β＝， 所以cos α＝－＝－， cos β＝－＝－